Решение задачи по физике про вероятность

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.
7. В сборнике билетов по физике всего 40 билетов, в 14 из них встречается вопрос по теме «Скорость». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Скорость». Решение: Вероятность события находится как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Общее число билетов = 40. Число билетов с вопросом по теме «Скорость» = 14. Вероятность того, что школьнику достанется билет с вопросом по теме «Скорость» равна: \[ P = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{14}{40} \] Сократим дробь: \[ P = \frac{14 \div 2}{40 \div 2} = \frac{7}{20} \] Переведем в десятичную дробь: \[ P = \frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0,35 \] Ответ: 0,35
8. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений — по одному от каждой страны. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? Решение: Общее количество выступлений = 40. Количество выступлений в первый день = 20. Оставшиеся выступления: \( 40 - 20 = 20 \) выступлений. Эти 20 выступлений распределены поровну между оставшимися двумя днями (вторым и третьим). Количество выступлений во второй день: \( 20 \div 2 = 10 \) выступлений. Количество выступлений в третий день: \( 20 \div 2 = 10 \) выступлений. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой, то есть любое выступление может попасть в любой день с равной вероятностью. Вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день, равна отношению числа мест в третий день к общему числу мест. \[ P = \frac{\text{Количество мест в третий день}}{\text{Общее количество мест}} = \frac{10}{40} \] Сократим дробь: \[ P = \frac{10 \div 10}{40 \div 10} = \frac{1}{4} \] Переведем в десятичную дробь: \[ P = 0,25 \] Ответ: 0,25
9. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,25. Такова же вероятность, что кофе закончится во втором автомате. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение: Обозначим события: A — кофе закончится в первом автомате. B — кофе закончится во втором автомате. Дано: \( P(A) = 0,25 \) \( P(B) = 0,25 \) \( P(A \text{ и } B) = P(A \cap B) = 0,16 \) (вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах) Нам нужно найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах. Это означает, что кофе НЕ закончится ни в первом, ни во втором автомате. Обозначим \(\bar{A}\) — кофе НЕ закончится в первом автомате. Обозначим \(\bar{B}\) — кофе НЕ закончится во втором автомате. Мы ищем \( P(\bar{A} \text{ и } \bar{B}) = P(\bar{A} \cap \bar{B}) \). Используем формулу для вероятности объединения событий: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) \( P(A \cup B) = 0,25 + 0,25 - 0,16 = 0,50 - 0,16 = 0,34 \) \( P(A \cup B) \) — это вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть в первом, или во втором, или в обоих). Событие "кофе останется в обоих автоматах" является противоположным событию "кофе закончится хотя бы в одном автомате". То есть, \( P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B) \). \( P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,34 = 0,66 \) Ответ: 0,66
10. В ящике четыре красных и два синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету? Решение: Общее количество фломастеров = 4 красных + 2 синих = 6 фломастеров. Мы хотим, чтобы первый раз синий фломастер появился третьим по счету. Это означает, что первые два фломастера должны быть красными, а третий — синим. Вероятность того, что первый фломастер будет красным: Всего 6 фломастеров, из них 4 красных. \( P(\text{1-й красный}) = \frac{4}{6} \) После того, как вытащили один красный фломастер, осталось 5 фломастеров: 3 красных и 2 синих. Вероятность того, что второй фломастер будет красным (при условии, что первый был красным): \( P(\text{2-й красный} | \text{1-й красный}) = \frac{3}{5} \) После того, как вытащили два красных фломастера, осталось 4 фломастера: 2 красных и 2 синих. Вероятность того, что третий фломастер будет синим (при условии, что первые два были красными): \( P(\text{3-й синий} | \text{1-й красный, 2-й красный}) = \frac{2}{4} \) Чтобы найти вероятность того, что все эти события произойдут последовательно, мы перемножаем их вероятности: \[ P = P(\text{1-й красный}) \times P(\text{2-й красный} | \text{1-й красный}) \times P(\text{3-й синий} | \text{1-й красный, 2-й красный}) \] \[ P = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \] Упростим дроби и выполним умножение: \[ P = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} \] \[ P = \frac{2 \times 3 \times 1}{3 \times 5 \times 2} \] Сократим общие множители (2 и 3): \[ P = \frac{1}{5} \] Переведем в десятичную дробь: \[ P = 0,2 \] Ответ: 0,2
11. Найдите корень уравнения: \( \sqrt{4x + 32} = 8 \). Решение: Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{4x + 32})^2 = 8^2 \) \( 4x + 32 = 64 \) Теперь решим линейное уравнение: Вычтем 32 из обеих частей уравнения: \( 4x = 64 - 32 \) \( 4x = 32 \) Разделим обе части на 4: \( x = \frac{32}{4} \) \( x = 8 \) Проверка: Подставим \( x = 8 \) в исходное уравнение: \( \sqrt{4 \times 8 + 32} = \sqrt{32 + 32} = \sqrt{64} = 8 \) Левая часть равна правой части, значит, корень найден верно. Ответ: 8
12. Найдите корень уравнения: \( \frac{1}{9x + 5} = \frac{1}{4x + 6} \). Решение: Если дроби равны и их числители равны (в данном случае 1), то их знаменатели также должны быть равны. Значит, мы можем приравнять знаменатели: \( 9x + 5 = 4x + 6 \) Теперь решим линейное уравнение. Перенесем члены с \( x \) в одну сторону, а свободные члены — в другую. Вычтем \( 4x \) из обеих частей: \( 9x - 4x + 5 = 6 \) \( 5x + 5 = 6 \) Вычтем 5 из обеих частей: \( 5x = 6 - 5 \) \( 5x = 1 \) Разделим обе части на 5: \( x = \frac{1}{5} \) \( x = 0,2 \) Проверка: Подставим \( x = 0,2 \) в исходное уравнение: Левая часть: \( \frac{1}{9 \times 0,2 + 5} = \frac{1}{1,8 + 5} = \frac{1}{6,8} \) Правая часть: \( \frac{1}{4 \times 0,2 + 6} = \frac{1}{0,8 + 6} = \frac{1}{6,8} \) Левая часть равна правой части, значит, корень найден верно. Ответ: 0,2
13. Найдите значение выражения \( \frac{b^{5\sqrt{8}+1}}{(b^{\sqrt{8}})^5} \) при \( b = 2 \). Решение: Сначала упростим выражение, используя свойства степеней. В знаменателе у нас \( (b^{\sqrt{8}})^5 \). По свойству \( (a^m)^n = a^{m \times n} \), получаем: \( (b^{\sqrt{8}})^5 = b^{\sqrt{8} \times 5} = b^{5\sqrt{8}} \) Теперь подставим это в исходное выражение: \[ \frac{b^{5\sqrt{8}+1}}{b^{5\sqrt{8}}} \] По свойству \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \), получаем: \[ b^{(5\sqrt{8}+1) - 5\sqrt{8}} \] \[ b^{5\sqrt{8}+1 - 5\sqrt{8}} \] \[ b^1 \] \[ b \] Таким образом, упрощенное выражение равно \( b \). Теперь подставим значение \( b = 2 \): \[ b = 2 \] Ответ: 2