Решение задачи на эффект Доплера: Найди скорость тепловоза

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику, с использованием MathJax для формул и без Markdown.
17. Задача на эффект Доплера. Дано: Начальная частота гудка \(f_0 = 267\) Гц. Скорость звука \(c = 315\) м/с. Минимальная разница частот, которую различает человек, \(\Delta f = 3\) Гц. Формула для частоты \(f(v) = \frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}}\). Найти: Минимальная скорость тепловоза \(v\). Решение: По условию, частота второго гудка \(f\) больше первого, так как тепловоз приближается к платформе. Человек различает сигналы, если их частоты отличаются не менее чем на 3 Гц. Значит, разница между новой частотой \(f\) и начальной частотой \(f_0\) должна быть не менее 3 Гц. \[f - f_0 \ge 3\] Подставим формулу для \(f\): \[\frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}} - f_0 \ge 3\] Вынесем \(f_0\) за скобки: \[f_0 \left( \frac{1}{1 - \frac{v}{c}} - 1 \right) \ge 3\] Приведем к общему знаменателю в скобках: \[f_0 \left( \frac{1 - (1 - \frac{v}{c})}{1 - \frac{v}{c}} \right) \ge 3\] \[f_0 \left( \frac{\frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}} \right) \ge 3\] \[\frac{f_0 \cdot v}{c \left(1 - \frac{v}{c}\right)} \ge 3\] \[\frac{f_0 \cdot v}{c - v} \ge 3\] Для нахождения минимальной скорости \(v\), рассмотрим случай равенства: \[\frac{f_0 \cdot v}{c - v} = 3\] \[f_0 \cdot v = 3(c - v)\] \[f_0 \cdot v = 3c - 3v\] \[f_0 \cdot v + 3v = 3c\] \[v(f_0 + 3) = 3c\] \[v = \frac{3c}{f_0 + 3}\] Подставим числовые значения: \[v = \frac{3 \cdot 315}{267 + 3}\] \[v = \frac{945}{270}\] \[v = 3.5\] Таким образом, минимальная скорость тепловоза, при которой человек сможет различить сигналы, составляет 3.5 м/с. Ответ: 3.5 м/с.
18. Задача на движение по окружности. Дано: Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Длина веревки \(L = 90\) см \( = 0.9\) м. Формула для силы давления \(P = m \left( \frac{v^2}{L} - g \right)\). Найти: Наименьшая скорость \(v\), при которой вода не будет выливаться. Решение: Вода не будет выливаться, если сила давления на дно ведерка в верхней точке траектории будет равна нулю или больше нуля. То есть, \(P \ge 0\). В верхней точке траектории сила давления может быть равна нулю. Это и будет условием для нахождения наименьшей скорости. \[P = m \left( \frac{v^2}{L} - g \right) = 0\] Так как масса \(m\) не равна нулю, то выражение в скобках должно быть равно нулю: \[\frac{v^2}{L} - g = 0\] \[\frac{v^2}{L} = g\] \[v^2 = gL\] \[v = \sqrt{gL}\] Подставим числовые значения: \[v = \sqrt{10 \cdot 0.9}\] \[v = \sqrt{9}\] \[v = 3\] Наименьшая скорость, с которой нужно вращать ведерко, чтобы вода не выливалась, составляет 3 м/с. Ответ: 3 м/с.
19. Задача на движение по реке. Дано: Расстояние до пункта назначения \(S = 336\) км. Скорость течения реки \(v_{теч} = 5\) км/ч. Время стоянки \(t_{ст} = 10\) часов. Общее время, через которое теплоход возвращается в пункт отправления, \(T_{общ} = 48\) часов. Найти: Скорость теплохода в неподвижной воде \(v_{тепл}\). Решение: Пусть \(v_{тепл}\) - скорость теплохода в неподвижной воде. Скорость теплохода по течению: \(v_{по} = v_{тепл} + v_{теч}\). Скорость теплохода против течения: \(v_{пр} = v_{тепл} - v_{теч}\). Время движения по течению: \(t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{S}{v_{тепл} + v_{теч}}\). Время движения против течения: \(t_{пр} = \frac{S}{v_{пр}} = \frac{S}{v_{тепл} - v_{теч}}\). Общее время, затраченное на путь туда и обратно, включая стоянку, равно 48 часам. \[t_{по} + t_{пр} + t_{ст} = T_{общ}\] \[\frac{S}{v_{тепл} + v_{теч}} + \frac{S}{v_{тепл} - v_{теч}} + t_{ст} = T_{общ}\] Подставим известные значения: \[\frac{336}{v_{тепл} + 5} + \frac{336}{v_{тепл} - 5} + 10 = 48\] Перенесем 10 в правую часть: \[\frac{336}{v_{тепл} + 5} + \frac{336}{v_{тепл} - 5} = 48 - 10\] \[\frac{336}{v_{тепл} + 5} + \frac{336}{v_{тепл} - 5} = 38\] Вынесем 336 за скобки: \[336 \left( \frac{1}{v_{тепл} + 5} + \frac{1}{v_{тепл} - 5} \right) = 38\] Приведем к общему знаменателю в скобках: \[336 \left( \frac{(v_{тепл} - 5) + (v_{тепл} + 5)}{(v_{тепл} + 5)(v_{тепл} - 5)} \right) = 38\] \[336 \left( \frac{2v_{тепл}}{v_{тепл}^2 - 25} \right) = 38\] \[\frac{672v_{тепл}}{v_{тепл}^2 - 25} = 38\] Разделим обе части на 2: \[\frac{336v_{тепл}}{v_{тепл}^2 - 25} = 19\] \[336v_{тепл} = 19(v_{тепл}^2 - 25)\] \[336v_{тепл} = 19v_{тепл}^2 - 475\] Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[19v_{тепл}^2 - 336v_{тепл} - 475 = 0\] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\): \(a = 19\), \(b = -336\), \(c = -475\). \[D = (-336)^2 - 4 \cdot 19 \cdot (-475)\] \[D = 112896 + 36100\] \[D = 148996\] \[\sqrt{D} = \sqrt{148996} = 386\] Найдем корни уравнения: \[v_{тепл} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[v_{тепл_1} = \frac{336 + 386}{2 \cdot 19} = \frac{722}{38} = 19\] \[v_{тепл_2} = \frac{336 - 386}{2 \cdot 19} = \frac{-50}{38} = -\frac{25}{19}\] Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(v_{тепл_2}\) не подходит. Скорость теплохода в неподвижной воде равна 19 км/ч. Ответ: 19 км/ч.
20. Задача на производительность труда. Дано: Общее количество деталей \(N = 110\). Первый рабочий выполняет заказ на 1 час быстрее второго. Первый рабочий за час изготавливает на 1 деталь больше, чем второй. Найти: Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий. Решение: Пусть \(x\) - количество деталей, которое изготавливает второй рабочий за 1 час (его производительность). Тогда первый рабочий изготавливает \(x + 1\) деталей за 1 час (его производительность). Время, за которое второй рабочий выполнит заказ: \(t_2 = \frac{N}{x} = \frac{110}{x}\) часов. Время, за которое первый рабочий выполнит заказ: \(t_1 = \frac{N}{x+1} = \frac{110}{x+1}\) часов. По условию, первый рабочий выполняет заказ на 1 час быстрее второго: \[t_2 - t_1 = 1\] \[\frac{110}{x} - \frac{110}{x+1} = 1\] Приведем к общему знаменателю: \[\frac{110(x+1) - 110x}{x(x+1)} = 1\] \[\frac{110x + 110 - 110x}{x^2 + x} = 1\] \[\frac{110}{x^2 + x} = 1\] \[110 = x^2 + x\] Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[x^2 + x - 110 = 0\] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\): \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -110\). \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110)\] \[D = 1 + 440\] \[D = 441\] \[\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21\] Найдем корни уравнения: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[x_1 = \frac{-1 + 21}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10\] \[x_2 = \frac{-1 - 21}{2 \cdot 1} = \frac{-22}{2} = -11\] Количество деталей не может быть отрицательным, поэтому \(x_2\) не подходит. Значит, второй рабочий изготавливает 10 деталей за час. Ответ: 10 деталей.