Решение задачи: Найти точку максимума функции y = -2/3x√x + 3x + 1

Ниже представлено решение выбранных заданий в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь. Задание 9. Найдите точку максимума функции \( y = -\frac{2}{3}x\sqrt{x} + 3x + 1 \). Решение: 1. Перепишем функцию в виде степени: \[ y = -\frac{2}{3}x^{1,5} + 3x + 1 \] 2. Найдем производную функции: \[ y' = -\frac{2}{3} \cdot 1,5 \cdot x^{0,5} + 3 = -1 \cdot \sqrt{x} + 3 = 3 - \sqrt{x} \] 3. Приравняем производную к нулю: \[ 3 - \sqrt{x} = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9 \] 4. Проверим знаки производной. При \( x < 9 \) (например, \( x=4 \)), \( y' = 3 - 2 = 1 > 0 \). При \( x > 9 \) (например, \( x=16 \)), \( y' = 3 - 4 = -1 < 0 \). Так как производная меняет знак с плюса на минус, \( x = 9 \) — точка максимума. Ответ: 9. Задание 10. Найдите точку максимума функции \( y = -\frac{x^2 + 81}{x} \). Решение: 1. Упростим выражение: \[ y = -\left( \frac{x^2}{x} + \frac{81}{x} \right) = -x - \frac{81}{x} \] 2. Найдем производную: \[ y' = -1 - 81 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -1 + \frac{81}{x^2} = \frac{81 - x^2}{x^2} \] 3. Приравняем производную к нулю: \[ 81 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 81 \Rightarrow x_1 = 9, x_2 = -9 \] 4. Определим знаки производной на интервалах. Точка максимума — это точка перехода с "+" на "-". Для данной функции это \( x = 9 \). Ответ: 9. Задание 12. Найдите точку максимума функции \( y = (x + 39)e^{39-x} \). Решение: 1. Используем формулу производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \): \[ y' = (x+39)' \cdot e^{39-x} + (x+39) \cdot (e^{39-x})' \] \[ y' = 1 \cdot e^{39-x} + (x+39) \cdot e^{39-x} \cdot (-1) \] \[ y' = e^{39-x} (1 - x - 39) = e^{39-x} (-x - 38) \] 2. Приравняем к нулю. Так как \( e^{39-x} > 0 \), то: \[ -x - 38 = 0 \Rightarrow x = -38 \] 3. При переходе через \( x = -38 \) производная меняет знак с "+" на "-". Ответ: -38. Задание 14. Найдите наименьшее значение функции \( y = e^{2x} - 4e^x + 6 \) на отрезке \( [0; 3] \). Решение: 1. Сделаем замену \( t = e^x \). Так как \( x \in [0; 3] \), то \( t \in [e^0; e^3] \), то есть \( t \in [1; e^3] \). 2. Рассмотрим функцию \( f(t) = t^2 - 4t + 6 \). Это парабола, ветви вверх. 3. Найдем вершину параболы: \[ t_{верш} = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{2} = 2 \] 4. Число 2 входит в интервал \( [1; e^3] \). Значит, наименьшее значение будет в вершине: \[ f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 6 = 4 - 8 + 6 = 2 \] Ответ: 2. Задание 15. Найдите точку максимума функции \( y = x^3 - 147x + 11 \). Решение: 1. Найдем производную: \[ y' = 3x^2 - 147 \] 2. Приравняем к нулю: \[ 3x^2 = 147 \Rightarrow x^2 = 49 \Rightarrow x_1 = 7, x_2 = -7 \] 3. Производная — парабола ветвями вверх. Знаки: \( + \) на \( (-\infty; -7) \), \( - \) на \( (-7; 7) \), \( + \) на \( (7; +\infty) \). 4. Точка максимума (переход с "+" на "-"): \( x = -7 \). Ответ: -7.