Решение задачи: AC=BC=25, AH=20. Найти cos∠ACB

Ниже представлены решения задач с листа в удобном для переписывания виде. Задача 1. Дано: \(AC = BC = 25\), высота \(AH = 20\). Найти \(\cos \angle ACB\). Решение: В прямоугольном треугольнике \(ACH\) (угол \(H = 90^\circ\)): \[ \sin \angle ACH = \frac{AH}{AC} = \frac{20}{25} = 0,8 \] Так как треугольник \(ABC\) тупоугольный, угол \(ACB\) является смежным к углу \(ACH\). \[ \angle ACB = 180^\circ - \angle ACH \] По формулам приведения: \[ \cos \angle ACB = \cos(180^\circ - \angle ACH) = -\cos \angle ACH \] Найдем \(\cos \angle ACH\) через основное тригонометрическое тождество: \[ \cos \angle ACH = \sqrt{1 - \sin^2 \angle ACH} = \sqrt{1 - 0,8^2} = \sqrt{0,36} = 0,6 \] Тогда: \[ \cos \angle ACB = -0,6 \] Ответ: -0,6. Задача 2. Дано: \(\vec{a} = (2; 1)\), \(\vec{b} = (2; -4)\). Найти \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot (7\vec{a} - \vec{b})\). Решение: 1) Найдем координаты вектора \(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}\): \[ \vec{c} = (2+2; 1-4) = (4; -3) \] 2) Найдем координаты вектора \(\vec{d} = 7\vec{a} - \vec{b}\): \[ 7\vec{a} = (14; 7) \] \[ \vec{d} = (14-2; 7-(-4)) = (12; 11) \] 3) Скалярное произведение: \[ \vec{c} \cdot \vec{d} = 4 \cdot 12 + (-3) \cdot 11 = 48 - 33 = 15 \] Ответ: 15. Задача 6. Решить уравнение: \(\sqrt{x + 32} = 6\). Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ x + 32 = 6^2 \] \[ x + 32 = 36 \] \[ x = 36 - 32 \] \[ x = 4 \] Проверка: \(\sqrt{4 + 32} = \sqrt{36} = 6\) (верно). Ответ: 4. Задача 7. Найти значение выражения: \(\frac{3\cos(\pi - \beta) + \sin(\frac{\pi}{2} + \beta)}{\cos(\beta + 3\pi)}\). Решение: Применим формулы приведения: 1) \(\cos(\pi - \beta) = -\cos \beta\) 2) \(\sin(\frac{\pi}{2} + \beta) = \cos \beta\) 3) \(\cos(\beta + 3\pi) = \cos(3\pi + \beta) = -\cos \beta\) Подставим в выражение: \[ \frac{3(-\cos \beta) + \cos \beta}{-\cos \beta} = \frac{-3\cos \beta + \cos \beta}{-\cos \beta} = \frac{-2\cos \beta}{-\cos \beta} = 2 \] Ответ: 2. Задача 8. На рисунке график \(y = f(x)\). В скольких точках производная \(f'(x)\) отрицательна? Решение: Производная функции отрицательна на тех промежутках, где функция убывает. По графику функция убывает в точках: \(x_3, x_4, x_7\). Всего таких точек 3. Ответ: 3. Задача 12. Найти точку максимума функции \(y = \frac{x^3}{3} - 9x - 7\). Решение: 1) Найдем производную: \[ y' = (\frac{x^3}{3} - 9x - 7)' = x^2 - 9 \] 2) Приравняем к нулю: \[ x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = -3, x_2 = 3 \] 3) Определим знаки производной на промежутках: На \((-\infty; -3)\) производная \(y' > 0\) (функция растет). На \((-3; 3)\) производная \(y' < 0\) (функция убывает). На \((3; +\infty)\) производная \(y' > 0\) (функция растет). Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с "+" на "-". Это точка \(x = -3\). Ответ: -3.