Отлично, давайте решим эти задачи по порядку.
Вариант 18.
1. Даны матрицы А, В и С. Найти 2A-B, A-B, B-A, C², C⁻¹.
Даны матрицы:
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 4 & -7 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix} \]
\[ B = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 6 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \]
\[ C = \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \]
Прежде чем выполнять операции, заметим, что матрицы A и B имеют разные размеры, поэтому некоторые операции (например, A-B, B-A, 2A-B) не определены. Матрица A имеет размер \(2 \times 3\), а матрица B имеет размер \(3 \times 2\). Для сложения или вычитания матрицы должны быть одного размера.
Однако, если в задании подразумевается, что матрицы A и B должны быть одного размера для выполнения этих операций, то, возможно, есть опечатка в условии. Предположим, что матрица B должна быть \(2 \times 3\), или матрица A должна быть \(3 \times 2\).
Если же задание подразумевает, что нужно выполнить только те операции, которые возможны, то:
Операции с матрицами A и B:
Операции \(2A-B\), \(A-B\), \(B-A\) не определены, так как матрицы A и B имеют разные размеры.
Операции с матрицей C:
Матрица C имеет размер \(2 \times 2\).
\[ C = \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \]
Найти \(C^2\):
\[ C^2 = C \cdot C = \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \]
\[ C^2 = \begin{pmatrix} (-3)(-3) + (5)(-1) & (-3)(5) + (5)(3) \\ (-1)(-3) + (3)(-1) & (-1)(5) + (3)(3) \end{pmatrix} \]
\[ C^2 = \begin{pmatrix} 9 - 5 & -15 + 15 \\ 3 - 3 & -5 + 9 \end{pmatrix} \]
\[ C^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \]
Найти \(C^{-1}\):
Для матрицы \( C = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), обратная матрица \( C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \).
Сначала найдем определитель матрицы C:
\[ \det(C) = (-3)(3) - (5)(-1) = -9 - (-5) = -9 + 5 = -4 \]
Теперь найдем обратную матрицу:
\[ C^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -(-1) & -3 \end{pmatrix} \]
\[ C^{-1} = -\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \]
\[ C^{-1} = \begin{pmatrix} -3/4 & 5/4 \\ -1/4 & 3/4 \end{pmatrix} \]
2. Решить систему уравнений A•X=B: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера.
Даны матрицы:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 5 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \]
\[ B = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} \]
Система уравнений имеет вид:
\[ \begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ 5x - y + z = 6 \\ x + y - 2z = -3 \end{cases} \]
а) Решение методом Гаусса:
Запишем расширенную матрицу системы:
\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 5 & -1 & 1 & | & 6 \\ 1 & 1 & -2 & | & -3 \end{pmatrix} \]
1. Вычтем из второй строки первую, умноженную на 5. Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 1.
\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 5 - 5(1) & -1 - 5(-2) & 1 - 5(1) & | & 6 - 5(0) \\ 1 - 1(1) & 1 - 1(-2) & -2 - 1(1) & | & -3 - 1(0) \end{pmatrix} \]
\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 9 & -4 & | & 6 \\ 0 & 3 & -3 & | & -3 \end{pmatrix} \]
2. Разделим третью строку на 3:
\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 9 & -4 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \end{pmatrix} \]
3. Поменяем местами вторую и третью строки для удобства:
\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & 9 & -4 & | & 6 \end{pmatrix} \]
4. Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 9:
\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 - 9(0) & 9 - 9(1) & -4 - 9(-1) & | & 6 - 9(-1) \end{pmatrix} \]
\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & 5 & | & 15 \end{pmatrix} \]
5. Разделим третью строку на 5:
\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{pmatrix} \]
Теперь у нас есть система в треугольном виде:
\[ \begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ y - z = -1 \\ z = 3 \end{cases} \]
Подставим \(z=3\) во второе уравнение:
\(y - 3 = -1\)
\(y = -1 + 3\)
\(y = 2\)
Подставим \(y=2\) и \(z=3\) в первое уравнение:
\(x - 2(2) + 3 = 0\)
\(x - 4 + 3 = 0\)
\(x - 1 = 0\)
\(x = 1\)
Таким образом, решение системы: \(x=1, y=2, z=3\).
б) Решение по формулам Крамера:
Формулы Крамера: \(x = \frac{\Delta_x}{\Delta}\), \(y = \frac{\Delta_y}{\Delta}\), \(z = \frac{\Delta_z}{\Delta}\).
1. Найдем главный определитель системы \(\Delta\):
\[ \Delta = \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 5 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} \]
\[ \Delta = 1 \cdot ((-1)(-2) - (1)(1)) - (-2) \cdot ((5)(-2) - (1)(1)) + 1 \cdot ((5)(1) - (-1)(1)) \]
\[ \Delta = 1 \cdot (2 - 1) + 2 \cdot (-10 - 1) + 1 \cdot (5 + 1) \]
\[ \Delta = 1 \cdot (1) + 2 \cdot (-11) + 1 \cdot (6) \]
\[ \Delta = 1 - 22 + 6 = -15 \]
2. Найдем \(\Delta_x\), заменив первый столбец матрицы A на столбец B:
\[ \Delta_x = \begin{vmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 6 & -1 & 1 \\ -3 & 1 & -2 \end{vmatrix} \]
\[ \Delta_x = 0 \cdot ((-1)(-2) - (1)(1)) - (-2) \cdot ((6)(-2) - (1)(-3)) + 1 \cdot ((6)(1) - (-1)(-3)) \]
\[ \Delta_x = 0 + 2 \cdot (-12 + 3) + 1 \cdot (6 - 3) \]
\[ \Delta_x = 2 \cdot (-9) + 1 \cdot (3) \]
\[ \Delta_x = -18 + 3 = -15 \]
3. Найдем \(\Delta_y\), заменив второй столбец матрицы A на столбец B:
\[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 5 & 6 & 1 \\ 1 & -3 & -2 \end{vmatrix} \]
\[ \Delta_y = 1 \cdot ((6)(-2) - (1)(-3)) - 0 \cdot ((5)(-2) - (1)(1)) + 1 \cdot ((5)(-3) - (6)(1)) \]
\[ \Delta_y = 1 \cdot (-12 + 3) - 0 + 1 \cdot (-15 - 6) \]
\[ \Delta_y = 1 \cdot (-9) + 1 \cdot (-21) \]
\[ \Delta_y = -9 - 21 = -30 \]
4. Найдем \(\Delta_z\), заменив третий столбец матрицы A на столбец B:
\[ \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 5 & -1 & 6 \\ 1 & 1 & -3 \end{vmatrix} \]
\[ \Delta_z = 1 \cdot ((-1)(-3) - (6)(1)) - (-2) \cdot ((5)(-3) - (6)(1)) + 0 \cdot ((5)(1) - (-1)(1)) \]
\[ \Delta_z = 1 \cdot (3 - 6) + 2 \cdot (-15 - 6) + 0 \]
\[ \Delta_z = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot (-21) \]
\[ \Delta_z = -3 - 42 = -45 \]
5. Вычислим значения \(x, y, z\):
\[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-15}{-15} = 1 \]
\[ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-30}{-15} = 2 \]
\[ z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-45}{-15} = 3 \]
Решение системы: \(x=1, y=2, z=3\). Оба метода дали одинаковый результат.
3. Даны векторы ā, b, c. Найти:
Даны векторы:
\( \vec{a} = (4; 1; 0) \)
\( \vec{b} = (2; -2; 3) \)
\( \vec{c} = (1; -2; 2) \)
а) Скалярное произведение векторов ā и b и угол между ними;
Скалярное произведение:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (4)(2) + (1)(-2) + (0)(3) = 8 - 2 + 0 = 6 \)
Длины векторов:
\( |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = \sqrt{4^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 1 + 0} = \sqrt{17} \)
\( |\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17} \)
Угол между векторами:
\( \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \)
\( \cos \theta = \frac{6}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{6}{17} \)
\( \theta = \arccos\left(\frac{6}{17}\right) \)
б) Проекцию вектора ā+b на направление вектора c;
Сначала найдем вектор \( \vec{a} + \vec{b} \):
\( \vec{a} + \vec{b} = (4+2; 1+(-2); 0+3) = (6; -1; 3) \)
Проекция вектора \( \vec{d} = \vec{a} + \vec{b} \) на направление вектора \( \vec{c} \) вычисляется по формуле:
\( \text{proj}_{\vec{c}} (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} \)
Найдем скалярное произведение \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} \):
\( (6; -1; 3) \cdot (1; -2; 2) = (6)(1) + (-1)(-2) + (3)(2) = 6 + 2 + 6 = 14 \)
Найдем длину вектора \( \vec{c} \):
\( |\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \)
Теперь найдем проекцию:
\( \text{proj}_{\vec{c}} (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{14}{3} \)
в) Векторное произведение векторов ā и b и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах;
Векторное произведение:
\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 3 \end{vmatrix} \]
\[ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{i} \cdot ((1)(3) - (0)(-2)) - \vec{j} \cdot ((4)(3) - (0)(2)) + \vec{k} \cdot ((4)(-2) - (1)(2)) \]
\[ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{i} \cdot (3 - 0) - \vec{j} \cdot (12 - 0) + \vec{k} \cdot (-8 - 2) \]
\[ \vec{a} \times \vec{b} = 3\vec{i} - 12\vec{j} - 10\vec{k} = (3; -12; -10) \]
Площадь параллелограмма, построенного на векторах \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), равна модулю их векторного произведения:
\( S = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-12)^2 + (-10)^2} \)
\( S = \sqrt{9 + 144 + 100} = \sqrt{253} \)
г) Смешанное произведение векторов ā, b, c.
Смешанное произведение векторов \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) вычисляется как \( (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \) или как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:
\[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} \]
\[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 4 \cdot ((-2)(2) - (3)(-2)) - 1 \cdot ((2)(2) - (3)(1)) + 0 \cdot ((2)(-2) - (-2)(1)) \]
\[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 4 \cdot (-4 + 6) - 1 \cdot (4 - 3) + 0 \]
\[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 4 \cdot (2) - 1 \cdot (1) \]
\[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 8 - 1 = 7 \]
4. Даны вершины A, B, C треугольника. Найти:
Даны вершины треугольника:
\( A(3; 5) \)
\( B(4; 4) \)
\( C(1; 3) \)
а) Уравнение и длину медианы AM;
Медиана AM соединяет вершину A с серединой стороны BC.
Найдем координаты точки M - середины отрезка BC:
\( M_x = \frac{B_x + C_x}{2} = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \)
\( M_y = \frac{B_y + C_y}{2} = \frac{4 + 3}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \)
Итак, \( M(2.5; 3.5) \).
Длина медианы AM:
\( |AM| = \sqrt{(M_x - A_x)^2 + (M_y - A_y)^2} \)
\( |AM| = \sqrt{(2.5 - 3)^2 + (3.5 - 5)^2} \)
\( |AM| = \sqrt{(-0.5)^2 + (-1.5)^2} \)
\( |AM| = \sqrt{0.25 + 2.25} = \sqrt{2.5} \)
Уравнение прямой, проходящей через две точки \( A(x_1, y_1) \) и \( M(x_2, y_2) \):
\( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \)
\( \frac{x - 3}{2.5 - 3} = \frac{y - 5}{3.5 - 5} \)
\( \frac{x - 3}{-0.5} = \frac{y - 5}{-1.5} \)
Умножим обе части на -1.5:
\( \frac{-1.5(x - 3)}{-0.5} = y - 5 \)
\( 3(x - 3) = y - 5 \)
\( 3x - 9 = y - 5 \)
\( 3x - y - 4 = 0 \)
Уравнение медианы AM: \( 3x - y - 4 = 0 \).
б) Уравнение и длину высоты AD;
Высота AD перпендикулярна стороне BC и проходит через вершину A.
Найдем вектор \( \vec{BC} \):
\( \vec{BC} = (C_x - B_x; C_y - B_y) = (1 - 4; 3 - 4) = (-3; -1) \)
Угловой коэффициент прямой BC:
\( k_{BC} = \frac{C_y - B_y}{C_x - B_x} = \frac{3 - 4}{1 - 4} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \)
Угловой коэффициент высоты AD (перпендикулярной BC):
\( k_{AD} = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{1}{1/3} = -3 \)
Уравнение прямой AD, проходящей через \( A(3; 5) \) с угловым коэффициентом \( k_{AD} = -3 \):
\( y - y_A = k_{AD}(x - x_A) \)
\( y - 5 = -3(x - 3) \)
\( y - 5 = -3x + 9 \)
\( 3x + y - 14 = 0 \)
Уравнение высоты AD: \( 3x + y - 14 = 0 \).
Чтобы найти длину высоты AD, нужно найти координаты точки D (основания высоты). Точка D является точкой пересечения прямой BC и прямой AD.
Уравнение прямой BC:
\( y - y_B = k_{BC}(x - x_B) \)
\( y - 4 = \frac{1}{3}(x - 4) \)
\( 3(y - 4) = x - 4 \)
\( 3y - 12 = x - 4 \)
\( x - 3y + 8 = 0 \)
Теперь решим систему уравнений для прямых AD и BC:
\[ \begin{cases} 3x + y - 14 = 0 \\ x - 3y + 8 = 0 \end{cases} \]
Из первого уравнения выразим \( y = 14 - 3x \).
Подставим во второе уравнение:
\( x - 3(14 - 3x) + 8 = 0 \)
\( x - 42 + 9x + 8 = 0 \)
\( 10x - 34 = 0 \)
\( 10x = 34 \)
\( x = 3.4 \)
Найдем \( y \):
\( y = 14 - 3(3.4) = 14 - 10.2 = 3.8 \)
Итак, \( D(3.4; 3.8) \).
Длина высоты AD:
\( |AD| = \sqrt{(D_x - A_x)^2 + (D_y - A_y)^2} \)
\( |AD| = \sqrt{(3.4 - 3)^2 + (3.8 - 5)^2} \)
\( |AD| = \sqrt{(0.4)^2 + (-1.2)^2} \)
\( |AD| = \sqrt{0.16 + 1.44} = \sqrt{1.6} \)
в) Угол A треугольника ABC.
Угол A - это угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \).
Найдем векторы:
\( \vec{AB} = (B_x - A_x; B_y - A_y) = (4 - 3; 4 - 5) = (1; -1) \)
\( \vec{AC} = (C_x - A_x; C_y - A_y) = (1 - 3; 3 - 5) = (-2; -2) \)
Скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \):
\( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1)(-2) + (-1)(-2) = -2 + 2 = 0 \)
Так как скалярное произведение равно 0, векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) перпендикулярны.
Следовательно, угол A равен \( 90^\circ \) или \( \frac{\pi}{2} \) радиан.
5. Даны: точка A, уравнения прямой L и плоскости P. Найти:
Даны:
Точка \( A(2; 0; -1) \)
Прямая \( L: \frac{x - 3}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{2} \)
Плоскость \( P: 8x - 4y - z - 5 = 0 \)
а) Угол между прямой и плоскостью;
Направляющий вектор прямой L: \( \vec{l} = (1; 2; 2) \)
Нормальный вектор плоскости P: \( \vec{n} = (8; -4; -1) \)
Угол \( \phi \) между прямой и плоскостью находится по формуле:
\( \sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| |\vec{n}|} \)
Скалярное произведение \( \vec{l} \cdot \vec{n} \):
\( \vec{l} \cdot \vec{n} = (1)(8) + (2)(-4) + (2)(-1) = 8 - 8 - 2 = -2 \)
Длины векторов:
\( |\vec{l}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \)
\( |\vec{n}| = \sqrt{8^2 + (-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{64 + 16 + 1} = \sqrt{81} = 9 \)
Теперь найдем \( \sin \phi \):
\( \sin \phi = \frac{|-2|}{3 \cdot 9} = \frac{2}{27} \)
\( \phi = \arcsin\left(\frac{2}{27}\right) \)
б) Расстояние от точки до прямой;
Для нахождения расстояния от точки \( A(x_A, y_A, z_A) \) до прямой L, заданной точкой \( M_0(x_0, y_0, z_0) \) и направляющим вектором \( \vec{l} \), используем формулу:
\( d = \frac{| \vec{M_0A} \times \vec{l} |}{|\vec{l}|} \)
Из уравнения прямой L: \( \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 0}{2} = \frac{z - 1}{2} \), мы можем взять точку \( M_0(3; 0; 1) \) и направляющий вектор \( \vec{l} = (1; 2; 2) \).
Точка \( A(2; 0; -1) \).
Найдем вектор \( \vec{M_0A} \):
\( \vec{M_0A} = (A_x - M_{0x}; A_y - M_{0y}; A_z - M_{0z}) = (2 - 3; 0 - 0; -1 - 1) = (-1; 0; -2) \)
Найдем векторное произведение \( \vec{M_0A} \times \vec{l} \):
\[ \vec{M_0A} \times \vec{l} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} \]
\[ \vec{M_0A} \times \vec{l} = \vec{i} \cdot ((0)(2) - (-2)(2)) - \vec{j} \cdot ((-1)(2) - (-2)(1)) + \vec{k} \cdot ((-1)(2) - (0)(1)) \]
\[ \vec{M_0A} \times \vec{l} = \vec{i} \cdot (0 + 4) - \vec{j} \cdot (-2 + 2) + \vec{k} \cdot (-2 - 0) \]
\[ \vec{M_0A} \times \vec{l} = 4\vec{i} + 0\vec{j} - 2\vec{k} = (4; 0; -2) \]
Найдем модуль векторного произведения:
\( |\vec{M_0A} \times \vec{l}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 0 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
Длина вектора \( \vec{l} \) уже найдена: \( |\vec{l}| = 3 \).
Расстояние от точки до прямой:
\( d = \frac{2\sqrt{5}}{3} \)
в) Расстояние от точки до плоскости;
Расстояние от точки \( A(x_A, y_A, z_A) \) до плоскости \( P: Ax + By + Cz + D = 0 \) вычисляется по формуле:
\( d = \frac{|Ax_A + By_A + Cz_A + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \)
Точка \( A(2; 0; -1) \)
Плоскость \( P: 8x - 4y - z - 5 = 0 \), где \( A=8, B=-4, C=-1, D=-5 \).
\( d = \frac{|(8)(2) + (-4)(0) + (-1)(-1) - 5|}{\sqrt{8^2 + (-4)^2 + (-1)^2}} \)
\( d = \frac{|16 + 0 + 1 - 5|}{\sqrt{64 + 16 + 1}} \)
\( d = \frac{|12|}{\sqrt{81}} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \)
г) Уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно данной плоскости;
Прямая, перпендикулярная плоскости, имеет направляющий вектор, совпадающий с нормальным вектором плоскости.
Направляющий вектор искомой прямой: \( \vec{l}_{perp} = \vec{n} = (8; -4; -1) \)
Прямая проходит через точку \( A(2; 0; -1) \).
Канонические уравнения прямой:
\( \frac{x - x_A}{l_x} = \frac{y - y_A}{l_y} = \frac{z - z_A}{l_z} \)
\( \frac{x - 2}{8} = \frac{y - 0}{-4} = \frac{z - (-1)}{-1} \)
\( \frac{x - 2}{8} = \frac{y}{-4} = \frac{z + 1}{-1} \)
д) Уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно прямой;
Плоскость, перпендикулярная прямой, имеет нормальный вектор, совпадающий с направляющим вектором прямой.
Нормальный вектор искомой плоскости: \( \vec{n}_{perp} = \vec{l} = (1; 2; 2) \)
Плоскость проходит через точку \( A(2; 0; -1) \).
Уравнение плоскости: \( A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \)
\( 1(x - 2) + 2(y - 0) + 2(z - (-1)) = 0 \)
\( x - 2 + 2y + 2(z + 1) = 0 \)
\( x - 2 + 2y + 2z + 2 = 0 \)
\( x + 2y + 2z = 0 \)
е) Уравнение прямой, проходящей через точку A параллельно данной прямой;
Прямая, параллельная данной прямой L, имеет тот же направляющий вектор.
Направляющий вектор искомой прямой: \( \vec{l}_{par} = \vec{l} = (1; 2; 2) \)
Прямая проходит через точку \( A(2; 0; -1) \).
Канонические уравнения прямой:
\( \frac{x - x_A}{l_x} = \frac{y - y_A}{l_y} = \frac{z - z_A}{l_z} \)
\( \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 0}{2} = \frac{z - (-1)}{2} \)
\( \frac{x - 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{2} \)
ж) Уравнение плоскости, проходящей через точку A параллельно данной плоскости;
Плоскость, параллельная данной плоскости P, имеет тот же нормальный вектор.
Нормальный вектор искомой плоскости: \( \vec{n}_{par} = \vec{n} = (8; -4; -1) \)
Плоскость проходит через точку \( A(2; 0; -1) \).
Уравнение плоскости: \( A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \)
\( 8(x - 2) - 4(y - 0) - 1(z - (-1)) = 0 \)
\( 8x - 16 - 4y - (z + 1) = 0 \)
\( 8x - 16 - 4y - z - 1 = 0 \)
\( 8x - 4y - z - 17 = 0 \)
6. Даны точки A, B, C, D. Найти:
Даны точки:
\( A(3; 4; 4) \)
\( B(0; -5; -2) \)
\( C(27; -5; 2) \)
\( D(9; -5; 7) \)
а) Площадь треугольника ABC;
Площадь треугольника ABC равна половине модуля векторного произведения векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \).
Найдем векторы:
\( \vec{AB} = (B_x - A_x; B_y - A_y; B_z - A_z) = (0 - 3; -5 - 4; -2 - 4) = (-3; -9; -6) \)
\( \vec{AC} = (C_x - A_x; C_y - A_y; C_z - A_z) = (27 - 3; -5 - 4; 2 - 4) = (24; -9; -2) \)
Найдем векторное произведение \( \vec{AB} \times \vec{AC} \):
\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & -9 & -6 \\ 24 & -9 & -2 \end{vmatrix} \]
\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i} \cdot ((-9)(-2) - (-6)(-9)) - \vec{j} \cdot ((-3)(-2) - (-6)(24)) + \vec{k} \cdot ((-3)(-9) - (-9)(24)) \]
\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i} \cdot (18 - 54) - \vec{j} \cdot (6 + 144) + \vec{k} \cdot (27 + 216) \]
\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = -36\vec{i} - 150\vec{j} + 243\vec{k} = (-36; -150; 243) \]
Найдем модуль векторного произведения:
\( |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-36)^2 + (-150)^2 + (243)^2} \)
\( |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{1296 + 22500 + 59049} = \sqrt{82845} \)
Площадь треугольника ABC:
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{82845} \)
б) Объем пирамиды ABCD;
Объем пирамиды ABCD равен \( \frac{1}{6} \) модуля смешанного произведения векторов \( \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD} \).
Найдем вектор \( \vec{AD} \):
\( \vec{AD} = (D_x - A_x; D_y - A_y; D_z - A_z) = (9 - 3; -5 - 4; 7 - 4) = (6; -9; 3) \)
Смешанное произведение \( (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) \):
\[ (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} -3 & -9 & -6 \\ 24 & -9 & -2 \\ 6 & -9 & 3 \end{vmatrix} \]
Мы уже нашли \( \vec{AB} \times \vec{AC} = (-36; -150; 243) \).
Тогда смешанное произведение равно \( (\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD} \):
\( (-36)(6) + (-150)(-9) + (243)(3) \)
\( = -216 + 1350 + 729 \)
\( = 1863 \)
Объем пирамиды:
\( V_{ABCD} = \frac{1}{6} |(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| = \frac{1}{6} |1863| = \frac{1863}{6} = 310.5 \)
в) Уравнение плоскости ABC;
Уравнение плоскости, проходящей через три точки \( A(x_A, y_A, z_A) \), \( B(x_B, y_B, z_B) \), \( C(x_C, y_C, z_C) \) можно найти, используя определитель:
\[ \begin{vmatrix} x - x_A & y - y_A & z - z_A \\ x_B - x_A & y_B - y_A & z_B - z_A \\ x_C - x_A & y_C - y_A & z_C - z_A \end{vmatrix} = 0 \]
Или, используя нормальный вектор плоскости, который является векторным произведением \( \vec{AB} \times \vec{AC} \).
Мы уже нашли \( \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (-36; -150; 243) \).
Уравнение плоскости: \( A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \).
Используем точку \( A(3; 4; 4) \):
\( -36(x - 3) - 150(y - 4) + 243(z - 4) = 0 \)
Разделим все на -3 (для упрощения):
\( 12(x - 3) + 50(y - 4) - 81(z - 4) = 0 \)
\( 12x - 36 + 50y - 200 - 81z + 324 = 0 \)
\( 12x + 50y - 81z + 88 = 0 \)
г) Уравнение прямой AD.
Прямая AD проходит через точки \( A(3; 4; 4) \) и \( D(9; -5; 7) \).
Направляющий вектор прямой AD: \( \vec{AD} = (D_x - A_x; D_y - A_y; D_z - A_z) = (9 - 3; -5 - 4; 7 - 4) = (6; -9; 3) \).
Можно упростить направляющий вектор, разделив его на 3: \( (2; -3; 1) \).
Канонические уравнения прямой:
\( \frac{x - x_A}{l_x} = \frac{y - y_A}{l_y} = \frac{z - z_A}{l_z} \)
\( \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 4}{-3} = \frac{z - 4}{1} \)
7. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. Определить тип кривой и нарисовать ее. Найти координаты вершин и фокусов.
а) \( x^2 - 2y^2 - 1 = 0 \)
Перенесем константу в правую часть:
\( x^2 - 2y^2 = 1 \)
Разделим на 1:
\( \frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{1/2} = 1 \)
Это каноническое уравнение гиперболы вида \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \).
Тип кривой: Гипербола.
Параметры:
\( a^2 = 1 \Rightarrow a = 1 \)
\( b^2 = 1/2 \Rightarrow b = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Вершины:
Для гиперболы с центром в начале координат и главной осью, лежащей на оси Ox, вершины находятся в точках \( (\pm a, 0) \).
Вершины: \( (\pm 1, 0) \).
Фокусы:
Для гиперболы \( c^2 = a^2 + b^2 \).
\( c^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)
\( c = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \)
Фокусы находятся в точках \( (\pm c, 0) \).
Фокусы: \( \left(\pm \frac{\sqrt{6}}{2}, 0\right) \).
Асимптоты: \( y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{\sqrt{2}/2}{1}x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}x \).
Рисунок:
(Здесь я не могу нарисовать график, но могу описать его.)
Гипербола с центром в начале координат.
Вершины на оси Ox в точках \( (1, 0) \) и \( (-1, 0) \).
Асимптоты \( y = \frac{\sqrt{2}}{2}x \) и \( y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x \).
Ветви гиперболы расходятся от вершин вправо и влево, приближаясь к асимптотам.
б) \( x^2 + y^2 - x - 2y + 16 = 0 \)
Приведем уравнение к каноническому виду, выделив полные квадраты:
\( (x^2 - x) + (y^2 - 2y) + 16 = 0 \)
Для \( x^2 - x \): \( (x - 1/2)^2 - (1/2)^2 = (x - 1/2)^2 - 1/4 \)
Для \( y^2 - 2y \): \( (y - 1)^2 - 1^2 = (y - 1)^2 - 1 \)
Подставим обратно в уравнение:
\( (x - 1/2)^2 - 1/4 + (y - 1)^2 - 1 + 16 = 0 \)
\( (x - 1/2)^2 + (y - 1)^2 + 16 - 1/4 - 1 = 0 \)
\( (x - 1/2)^2 + (y - 1)^2 + 14.75 = 0 \)
\( (x - 1/2)^2 + (y - 1)^2 = -14.75 \)
Тип кривой: Мнимый круг (или пустое множество).
Сумма двух квадратов не может быть отрицательной. Это уравнение не имеет решений в действительных числах, то есть не представляет никакой реальной кривой на плоскости.
в) \( 8x^2 + \frac{y^2}{2} - 32 = 0 \)
Перенесем константу в правую часть:
\( 8x^2 + \frac{y^2}{2} = 32 \)
Разделим все на 32:
\( \frac{8x^2}{32} + \frac{y^2}{2 \cdot 32} = \frac{32}{32} \)
\( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{64} = 1 \)
Это каноническое уравнение эллипса вида \( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \) (где \( a > b \), и большая полуось лежит на оси Oy).
Тип кривой: Эллипс.
Параметры:
\( b^2 = 4 \Rightarrow b = 2 \)
\( a^2 = 64 \Rightarrow a = 8 \)
Вершины:
Для эллипса с центром в начале координат и большой осью, лежащей на оси Oy, вершины находятся в точках \( (0, \pm a) \) и \( (\pm b, 0) \).
Главные вершины: \( (0, \pm 8) \).
Побочные вершины: \( (\pm 2, 0) \).
Фокусы:
Для эллипса \( c^2 = a^2 - b^2 \).
\( c^2 = 64 - 4 = 60 \)
\( c = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15} \)
Фокусы находятся на оси Oy в точках \( (0, \pm c) \).
Фокусы: \( (0, \pm 2\sqrt{15}) \).
Рисунок:
(Здесь я не могу нарисовать график, но могу описать его.)
Эллипс с центром в начале координат.
Большая ось лежит на оси Oy, ее длина \( 2a = 16 \). Вершины \( (0, 8) \) и \( (0, -8) \).
Малая ось лежит на оси Ox, ее длина \( 2b = 4 \). Вершины \( (2, 0) \) и \( (-2, 0) \).
Фокусы на оси Oy в точках \( (0, 2\sqrt{15}) \) и \( (0, -2\sqrt{15}) \).
Надеюсь, это решение будет удобно для переписывания в тетрадь!
