Решение задачи по геометрии 9 класс

Административная контрольная работа по геометрии за 1 полугодие, 9 класс. Вариант 2. Задача 1. Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(\angle ADB = 50^\circ\), \(\angle BDC = 85^\circ\). Найти: меньший угол параллелограмма. Решение: 1) Угол \(D\) параллелограмма состоит из двух углов, образованных диагональю: \[\angle D = \angle ADB + \angle BDC = 50^\circ + 85^\circ = 135^\circ\] 2) Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\). Следовательно: \[\angle A = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\] 3) Сравнивая углы \(45^\circ\) и \(135^\circ\), видим, что меньший угол равен \(45^\circ\). Ответ: \(45^\circ\). Задача 2. Дано: \(\triangle ABC\), \(AC = BC\), внешний угол при вершине \(B\) равен \(146^\circ\). Найти: \(\angle C\). Решение: 1) Найдем внутренний угол \(B\). Он смежный с внешним: \[\angle B = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ\] 2) Так как \(AC = BC\), треугольник равнобедренный, углы при основании равны: \[\angle A = \angle B = 34^\circ\] 3) Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\): \[\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (34^\circ + 34^\circ) = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ\] Ответ: \(112^\circ\). Задача 3. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(AC = 8\), \(\cos A = 0,4\). Найти: \(AB\). Решение: По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: \[\cos A = \frac{AC}{AB}\] Отсюда выразим гипотенузу \(AB\): \[AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{8}{0,4} = 20\] Ответ: 20. Задача 4. Дано: \(\angle AOD = 110^\circ\) (центральный). Найти: \(\angle ACB\) (вписанный). Решение: 1) Углы \(\angle AOD\) и \(\angle BOC\) — вертикальные, значит \(\angle BOC = \angle AOD = 110^\circ\). 2) Вписанный угол \(\angle ACB\) опирается на ту же дугу \(AB\), что и центральный угол \(\angle AOB\). Однако, судя по чертежу, точки \(A, D\) и \(B, C\) лежат на пересекающихся хордах. Угол \(\angle ACB\) опирается на дугу \(AB\). Центральный угол для этой дуги — \(\angle AOB\). 3) Углы \(\angle AOD\) и \(\angle AOB\) — смежные: \[\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\] 4) Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: \[\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ\] Ответ: \(35^\circ\). Задача 5. Дано: \(NP\) — диаметр, \(\angle MNP = 18^\circ\). Найти: \(\angle MON\). Решение: 1) Рассмотрим \(\triangle MON\). В нем \(OM = ON\) как радиусы окружности. 2) Значит, \(\triangle MON\) — равнобедренный, и углы при основании равны: \[\angle OMN = \angle MNP = 18^\circ\] 3) Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\): \[\angle MON = 180^\circ - (\angle OMN + \angle MNP) = 180^\circ - (18^\circ + 18^\circ) = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ\] Ответ: \(144^\circ\). Задача 6. Найти площадь трапеции по клеткам. Решение: 1) Формула площади трапеции: \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h\), где \(a\) и \(b\) — основания, \(h\) — высота. 2) По рисунку считаем клетки: Верхнее основание \(a = 2\) клетки. Нижнее основание \(b = 4\) клетки. Высота \(h = 5\) клеток. 3) Вычисляем: \[S = \frac{2 + 4}{2} \cdot 5 = \frac{6}{2} \cdot 5 = 3 \cdot 5 = 15\] Ответ: 15. Задача 7. Дано: \(\triangle ABC\), \(AC = BC\), \(CH\) — высота, \(CH = 12\), \(AB = 10\). Найти: \(AC\). Решение: 1) В равнобедренном треугольнике высота \(CH\), проведенная к основанию, является медианой. Значит: \[AH = \frac{1}{2} AB = \frac{10}{2} = 5\] 2) Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ACH\) (\(\angle H = 90^\circ\)). По теореме Пифагора: \[AC^2 = AH^2 + CH^2\] \[AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\] \[AC = \sqrt{169} = 13\] Ответ: 13.