Решение заданий 13-16 ЕГЭ профиль математика с подробным объяснением

Ниже представлено подробное решение заданий 13, 14, 15 и 16 из представленного варианта. Решения оформлены так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Задание 13 а) Решите уравнение: \[ \sin 2x \cdot \cos x + \sin x = \sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right) \] Решение: Используем формулу приведения \( \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha \) и формулу двойного угла \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \): \[ 2 \sin x \cos x \cdot \cos x + \sin x = \sqrt{2} \sin 2x \] \[ 2 \sin x \cos^2 x + \sin x = 2\sqrt{2} \sin x \cos x \] Перенесем всё в левую часть и вынесем \( \sin x \) за скобки: \[ \sin x (2 \cos^2 x + 1 - 2\sqrt{2} \cos x) = 0 \] Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: 1) \( \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z} \) 2) \( 2 \cos^2 x - 2\sqrt{2} \cos x + 1 = 0 \) Заметим, что это полный квадрат: \( (\sqrt{2} \cos x - 1)^2 = 0 \) \[ \sqrt{2} \cos x = 1 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] б) Найдите корни на промежутке \( [6\pi; 7\pi] \). 1) Для \( x = \pi k \): При \( k=6 \), \( x = 6\pi \in [6\pi; 7\pi] \). При \( k=7 \), \( x = 7\pi \in [6\pi; 7\pi] \). 2) Для \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \): При \( n=3 \), \( x = \frac{\pi}{4} + 6\pi = \frac{25\pi}{4} = 6,25\pi \in [6\pi; 7\pi] \). 3) Для \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \): При \( n=3 \), \( x = -\frac{\pi}{4} + 6\pi = \frac{23\pi}{4} = 5,75\pi \notin [6\pi; 7\pi] \). При \( n=4 \), \( x = -\frac{\pi}{4} + 8\pi = \frac{31\pi}{4} = 7,75\pi \notin [6\pi; 7\pi] \). Ответ: а) \( \pi k; \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z} \); б) \( 6\pi; \frac{25\pi}{4}; 7\pi \). Задание 14 Дана правильная треугольная призма \( ABCA_1B_1C_1 \), все ребра равны 10. \( M \) — середина \( A_1B_1 \). а) Докажите, что треугольник \( AMC_1 \) прямоугольный. Решение: Пусть ребро равно \( a = 10 \). 1) В треугольнике \( AA_1M \): \( \angle A_1 = 90^\circ \), \( AA_1 = a \), \( A_1M = a/2 \). По теореме Пифагора: \( AM^2 = a^2 + (a/2)^2 = \frac{5a^2}{4} \). 2) В треугольнике \( MC_1B_1 \): \( \angle B_1 = 60^\circ \) (т.к. основание — правильный треугольник). По теореме косинусов в \( \triangle MC_1B_1 \): \( MC_1^2 = MB_1^2 + B_1C_1^2 - 2 MB_1 \cdot B_1C_1 \cdot \cos 60^\circ = (a/2)^2 + a^2 - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{4} + a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{4} \). 3) В основании \( A_1B_1C_1 \): \( AC_1 \) — это гипотенуза в \( \triangle AA_1C_1 \), \( AC_1^2 = AA_1^2 + A_1C_1^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \). Проверим теорему Пифагора для \( \triangle AMC_1 \): \( AM^2 + MC_1^2 = \frac{5a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = \frac{8a^2}{4} = 2a^2 \). Так как \( AM^2 + MC_1^2 = AC_1^2 \), то треугольник \( AMC_1 \) прямоугольный с прямым углом \( M \). Что и требовалось доказать. б) Найдите расстояние от точки \( A_1 \) до плоскости \( AMC_1 \). Решение: Расстояние от точки до плоскости в прямоугольном тетраэдре (или через объем): Пусть \( h \) — искомое расстояние. Объем пирамиды \( MA_1C_1A \) можно выразить двумя способами: \( V = \frac{1}{3} S_{A_1MC_1} \cdot AA_1 = \frac{1}{3} S_{AMC_1} \cdot h \). 1) \( S_{A_1MC_1} = \frac{1}{2} A_1M \cdot A_1C_1 \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2} \). 2) \( V = \frac{1}{3} \cdot \frac{25\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = \frac{125\sqrt{3}}{3} \). 3) \( S_{AMC_1} = \frac{1}{2} AM \cdot MC_1 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5 \cdot 100}{4}} \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 100}{4}} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{25\sqrt{15}}{2} \). 4) \( h = \frac{3V}{S_{AMC_1}} = \frac{125\sqrt{3}}{\frac{25\sqrt{15}}{2}} = \frac{125\sqrt{3} \cdot 2}{25\sqrt{15}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \). Ответ: \( 2\sqrt{5} \). Задание 15 Решите неравенство: \[ \frac{(3^x - 1)^2 - 1}{3^x - 2} + \frac{3^{x+2}}{3^x - 4} \le 25 \] Решение: Пусть \( 3^x = t \), где \( t > 0 \). \[ \frac{(t-1)^2 - 1}{t-2} + \frac{9t}{t-4} \le 25 \] \[ \frac{t^2 - 2t + 1 - 1}{t-2} + \frac{9t}{t-4} \le 25 \] \[ \frac{t(t-2)}{t-2} + \frac{9t}{t-4} \le 25 \] При \( t \ne 2 \): \[ t + \frac{9t}{t-4} - 25 \le 0 \] \[ \frac{(t-25)(t-4) + 9t}{t-4} \le 0 \] \[ \frac{t^2 - 4t - 25t + 100 + 9t}{t-4} \le 0 \] \[ \frac{t^2 - 20t + 100}{t-4} \le 0 \] \[ \frac{(t-10)^2}{t-4} \le 0 \] Дробь меньше или равна нулю, когда: 1) \( t - 4 < 0 \Rightarrow t < 4 \) 2) \( (t-10)^2 = 0 \Rightarrow t = 10 \) С учетом \( t > 0 \) и \( t \ne 2 \): \( t \in (0; 2) \cup (2; 4) \cup \{10\} \). Вернемся к \( x \): 1) \( 0 < 3^x < 2 \Rightarrow x < \log_3 2 \) 2) \( 2 < 3^x < 4 \Rightarrow \log_3 2 < x < \log_3 4 \) 3) \( 3^x = 10 \Rightarrow x = \log_3 10 \) Ответ: \( (-\infty; \log_3 2) \cup (\log_3 2; \log_3 4) \cup \{\log_3 10\} \). Задание 16 Сумма кредита \( S = 2\,482\,700 \) руб. Ставка \( r = 20\% \). Срок \( n = 4 \) года. Платежи равные (аннуитетные). Найти общую сумму выплат. Решение: Пусть \( k = 1 + \frac{r}{100} = 1,2 \). Формула равного платежа \( X \): \[ X = S \cdot \frac{k^n (k-1)}{k^n - 1} \] Подставим значения: \[ X = 2\,482\,700 \cdot \frac{1,2^4 \cdot 0,2}{1,2^4 - 1} \] Вычислим \( 1,2^4 = 2,0736 \): \[ X = 2\,482\,700 \cdot \frac{2,0736 \cdot 0,2}{2,0736 - 1} = 2\,482\,700 \cdot \frac{0,41472}{1,0736} \] \[ X = 2\,482\,700 \cdot \frac{41472}{107360} = 2\,482\,700 \cdot \frac{1296}{3355} \] Разделим \( 2\,482\,700 \) на \( 3355 \): \( 2\,482\,700 : 3355 = 740 \). \[ X = 740 \cdot 1296 = 959\,040 \text{ руб.} \] Общая сумма выплат за 4 года: \[ \sum = 4 \cdot X = 4 \cdot 959\,040 = 3\,836\,160 \text{ руб.} \] Ответ: \( 3\,836\,160 \) рублей.