Решение задачи 1, Вариант 12: Найти производную функции

Хорошо, давайте решим задачу 1. Вариант 12 1. Найти производную функции и упростить полученное выражение: \[ 3\sqrt{(x^2 - 2)^5} + 10\sqrt{(x^2 - 2)^3} \] Решение: Сначала перепишем корни в виде степеней, чтобы было удобнее брать производную: \[ y = 3(x^2 - 2)^{\frac{5}{2}} + 10(x^2 - 2)^{\frac{3}{2}} \] Теперь найдем производную \(y'\) используя правило производной сложной функции \((u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'\). Для первого слагаемого: Пусть \(u = x^2 - 2\). Тогда \(u' = (x^2 - 2)' = 2x\). Производная первого слагаемого: \[ \left(3(x^2 - 2)^{\frac{5}{2}}\right)' = 3 \cdot \frac{5}{2} (x^2 - 2)^{\frac{5}{2} - 1} \cdot (2x) \] \[ = \frac{15}{2} (x^2 - 2)^{\frac{3}{2}} \cdot (2x) \] \[ = 15x (x^2 - 2)^{\frac{3}{2}} \] Для второго слагаемого: Пусть \(u = x^2 - 2\). Тогда \(u' = (x^2 - 2)' = 2x\). Производная второго слагаемого: \[ \left(10(x^2 - 2)^{\frac{3}{2}}\right)' = 10 \cdot \frac{3}{2} (x^2 - 2)^{\frac{3}{2} - 1} \cdot (2x) \] \[ = 15 (x^2 - 2)^{\frac{1}{2}} \cdot (2x) \] \[ = 30x (x^2 - 2)^{\frac{1}{2}} \] Теперь сложим полученные производные: \[ y' = 15x (x^2 - 2)^{\frac{3}{2}} + 30x (x^2 - 2)^{\frac{1}{2}} \] Упростим полученное выражение. Вынесем общий множитель. Общий множитель здесь \(15x (x^2 - 2)^{\frac{1}{2}}\). \[ y' = 15x (x^2 - 2)^{\frac{1}{2}} \left( (x^2 - 2)^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} + \frac{30x}{15x} \right) \] \[ y' = 15x (x^2 - 2)^{\frac{1}{2}} \left( (x^2 - 2)^{1} + 2 \right) \] \[ y' = 15x \sqrt{x^2 - 2} (x^2 - 2 + 2) \] \[ y' = 15x \sqrt{x^2 - 2} (x^2) \] \[ y' = 15x^3 \sqrt{x^2 - 2} \] Ответ: \[ y' = 15x^3 \sqrt{x^2 - 2} \]