Задача 9. Медная проволока.
Электрическое сопротивление куска медной проволоки 8 Ом. Проволоку пропустили через волочильный станок, и её длина увеличилась вдвое. Каким стало электрическое сопротивление проволоки?
Ответ выразить в Ом, округлив до целых.
Дано:
- Начальное сопротивление проволоки \(R_1 = 8\) Ом.
- Длина проволоки увеличилась вдвое, то есть \(L_2 = 2L_1\).
Найти: Конечное сопротивление проволоки \(R_2\).
Решение:
Электрическое сопротивление проводника определяется формулой:
\[R = \rho \frac{L}{S}\]Где:
- \(R\) - электрическое сопротивление
- \(\rho\) - удельное электрическое сопротивление материала (для меди оно постоянно)
- \(L\) - длина проводника
- \(S\) - площадь поперечного сечения проводника
Когда проволоку пропускают через волочильный станок, её объем остается неизменным. Объем проволоки можно выразить как произведение длины на площадь поперечного сечения:
\[V = L \cdot S\]Так как объем не меняется, то \(V_1 = V_2\), или \(L_1 S_1 = L_2 S_2\).
Из условия задачи известно, что длина проволоки увеличилась вдвое: \(L_2 = 2L_1\).
Подставим это в уравнение сохранения объема:
\[L_1 S_1 = (2L_1) S_2\]Разделим обе части на \(L_1\):
\[S_1 = 2S_2\]Отсюда находим, как изменилась площадь поперечного сечения:
\[S_2 = \frac{S_1}{2}\]То есть, площадь поперечного сечения уменьшилась вдвое.
Теперь запишем формулы для начального и конечного сопротивления:
Начальное сопротивление:
\[R_1 = \rho \frac{L_1}{S_1}\]Конечное сопротивление:
\[R_2 = \rho \frac{L_2}{S_2}\]Подставим в формулу для \(R_2\) выражения для \(L_2\) и \(S_2\) через \(L_1\) и \(S_1\):
\[R_2 = \rho \frac{2L_1}{\frac{S_1}{2}}\]Упростим выражение:
\[R_2 = \rho \frac{2L_1 \cdot 2}{S_1}\] \[R_2 = \rho \frac{4L_1}{S_1}\] \[R_2 = 4 \cdot \left(\rho \frac{L_1}{S_1}\right)\]Мы видим, что выражение в скобках - это начальное сопротивление \(R_1\).
\[R_2 = 4 R_1\]Теперь подставим значение \(R_1\):
\[R_2 = 4 \cdot 8 \text{ Ом}\] \[R_2 = 32 \text{ Ом}\]Ответ нужно выразить в Омах и округлить до целых. Наше значение уже целое.
Ответ: 32 Ом.