Решение задачи 109.3: Вычисление предела функции

Решение задачи №109 (пункт 3) для тетради: Задание: Вычислить предел функции. \[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{6-x}}{x-2} \] Решение: 1. При подстановке \( x = 2 \) в выражение получаем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \): \[ \frac{\sqrt{2+1} - \sqrt{6-2}}{2-2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{4}}{0} = \frac{\sqrt{3} - 2}{0} \] Однако, если внимательно посмотреть на условие, при \( x=2 \) числитель равен \( \sqrt{3}-2 \), а знаменатель \( 0 \). Это означает, что предел стремится к бесконечности. Но обычно в таких задачах предполагается избавление от иррациональности. Проверим еще раз значения. Если в условии опечатка и под корнем должно быть число, дающее \( 0 \), решаем стандартным методом. Если решаем строго по фото: 2. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( (\sqrt{x+1} + \sqrt{6-x}) \): \[ \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{6-x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{6-x})}{(x-2)(\sqrt{x+1} + \sqrt{6-x})} \] 3. Применим в числителе формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \): \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x+1) - (6-x)}{(x-2)(\sqrt{x+1} + \sqrt{6-x})} \] 4. Упростим числитель: \[ x + 1 - 6 + x = 2x - 5 \] 5. Получаем выражение: \[ \lim_{x \to 2} \frac{2x - 5}{(x-2)(\sqrt{x+1} + \sqrt{6-x})} \] 6. Подставим \( x = 2 \): Числитель: \( 2 \cdot 2 - 5 = -1 \) Знаменатель: \( (2-2) \cdot (\sqrt{3} + 2) = 0 \cdot (\sqrt{3} + 2) = 0 \) Так как числитель стремится к конечному числу \( -1 \), а знаменатель к \( 0 \), то предел равен бесконечности. Ответ: \[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{6-x}}{x-2} = \infty \]