Решение задачи: Цилиндр, площадь и объем (Вариант 22)

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Вариант 22 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна \( \sqrt{85} \) см, а образующая 7 см. Найти \( S_{\text{полн}} \), \( V_{\text{цилиндра}} \). Дано: Диагональ осевого сечения \( d = \sqrt{85} \) см Образующая \( h = 7 \) см Найти: \( S_{\text{полн}} \) \( V_{\text{цилиндра}} \) Решение: Осевое сечение цилиндра - это прямоугольник, одна сторона которого равна образующей (высоте) цилиндра \( h \), а другая сторона равна диаметру основания \( 2r \). Диагональ этого прямоугольника \( d \) связана с его сторонами по теореме Пифагора: \( d^2 = h^2 + (2r)^2 \) \( (\sqrt{85})^2 = 7^2 + (2r)^2 \) \( 85 = 49 + 4r^2 \) \( 4r^2 = 85 - 49 \) \( 4r^2 = 36 \) \( r^2 = 9 \) \( r = 3 \) см Площадь полной поверхности цилиндра: \( S_{\text{полн}} = 2 \pi r (r + h) \) \( S_{\text{полн}} = 2 \pi \cdot 3 (3 + 7) \) \( S_{\text{полн}} = 6 \pi \cdot 10 \) \( S_{\text{полн}} = 60 \pi \) см\( ^2 \) Объем цилиндра: \( V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h \) \( V_{\text{цилиндра}} = \pi \cdot 3^2 \cdot 7 \) \( V_{\text{цилиндра}} = \pi \cdot 9 \cdot 7 \) \( V_{\text{цилиндра}} = 63 \pi \) см\( ^3 \) Ответ: \( S_{\text{полн}} = 60 \pi \) см\( ^2 \), \( V_{\text{цилиндра}} = 63 \pi \) см\( ^3 \). 2. Площадь осевого сечения цилиндра 30 см\( ^2 \), образующая 5 см. Найти \( S_{\text{полн}} \), \( V_{\text{цилиндра}} \). Дано: Площадь осевого сечения \( S_{\text{сеч}} = 30 \) см\( ^2 \) Образующая \( h = 5 \) см Найти: \( S_{\text{полн}} \) \( V_{\text{цилиндра}} \) Решение: Площадь осевого сечения цилиндра - это площадь прямоугольника со сторонами \( h \) и \( 2r \). \( S_{\text{сеч}} = h \cdot 2r \) \( 30 = 5 \cdot 2r \) \( 2r = \frac{30}{5} \) \( 2r = 6 \) \( r = 3 \) см Площадь полной поверхности цилиндра: \( S_{\text{полн}} = 2 \pi r (r + h) \) \( S_{\text{полн}} = 2 \pi \cdot 3 (3 + 5) \) \( S_{\text{полн}} = 6 \pi \cdot 8 \) \( S_{\text{полн}} = 48 \pi \) см\( ^2 \) Объем цилиндра: \( V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h \) \( V_{\text{цилиндра}} = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 \) \( V_{\text{цилиндра}} = \pi \cdot 9 \cdot 5 \) \( V_{\text{цилиндра}} = 45 \pi \) см\( ^3 \) Ответ: \( S_{\text{полн}} = 48 \pi \) см\( ^2 \), \( V_{\text{цилиндра}} = 45 \pi \) см\( ^3 \). 3. Высота конуса 12 см, радиус основания 5 см. Найти \( S_{\text{полн}} \), \( V_{\text{конуса}} \). Дано: Высота конуса \( H = 12 \) см Радиус основания \( r = 5 \) см Найти: \( S_{\text{полн}} \) \( V_{\text{конуса}} \) Решение: Для нахождения площади полной поверхности конуса нам нужна образующая \( L \). Образующая, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник, поэтому по теореме Пифагора: \( L^2 = H^2 + r^2 \) \( L^2 = 12^2 + 5^2 \) \( L^2 = 144 + 25 \) \( L^2 = 169 \) \( L = \sqrt{169} \) \( L = 13 \) см Площадь полной поверхности конуса: \( S_{\text{полн}} = \pi r (r + L) \) \( S_{\text{полн}} = \pi \cdot 5 (5 + 13) \) \( S_{\text{полн}} = 5 \pi \cdot 18 \) \( S_{\text{полн}} = 90 \pi \) см\( ^2 \) Объем конуса: \( V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 H \) \( V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 \) \( V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 \) \( V_{\text{конуса}} = \pi \cdot 25 \cdot 4 \) \( V_{\text{конуса}} = 100 \pi \) см\( ^3 \) Ответ: \( S_{\text{полн}} = 90 \pi \) см\( ^2 \), \( V_{\text{конуса}} = 100 \pi \) см\( ^3 \). 4. Периметр осевого сечения конуса 32 см, радиус основания равен 6 см. Найти \( S_{\text{полн}} \), \( V_{\text{конуса}} \). Дано: Периметр осевого сечения \( P_{\text{сеч}} = 32 \) см Радиус основания \( r = 6 \) см Найти: \( S_{\text{полн}} \) \( V_{\text{конуса}} \) Решение: Осевое сечение конуса - это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса \( 2r \), а боковые стороны - образующим конуса \( L \). Периметр осевого сечения: \( P_{\text{сеч}} = 2r + 2L \) \( 32 = 2 \cdot 6 + 2L \) \( 32 = 12 + 2L \) \( 2L = 32 - 12 \) \( 2L = 20 \) \( L = 10 \) см Для нахождения объема конуса нам нужна высота \( H \). По теореме Пифагора: \( H^2 = L^2 - r^2 \) \( H^2 = 10^2 - 6^2 \) \( H^2 = 100 - 36 \) \( H^2 = 64 \) \( H = \sqrt{64} \) \( H = 8 \) см Площадь полной поверхности конуса: \( S_{\text{полн}} = \pi r (r + L) \) \( S_{\text{полн}} = \pi \cdot 6 (6 + 10) \) \( S_{\text{полн}} = 6 \pi \cdot 16 \) \( S_{\text{полн}} = 96 \pi \) см\( ^2 \) Объем конуса: \( V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 H \) \( V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 \) \( V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 \) \( V_{\text{конуса}} = \pi \cdot 12 \cdot 8 \) \( V_{\text{конуса}} = 96 \pi \) см\( ^3 \) Ответ: \( S_{\text{полн}} = 96 \pi \) см\( ^2 \), \( V_{\text{конуса}} = 96 \pi \) см\( ^3 \). 5. Площадь сферы 36\( \pi \) см\( ^2 \). Найти объем шара. Дано: Площадь сферы \( S_{\text{сферы}} = 36 \pi \) см\( ^2 \) Найти: \( V_{\text{шара}} \) Решение: Площадь сферы выражается формулой: \( S_{\text{сферы}} = 4 \pi R^2 \) \( 36 \pi = 4 \pi R^2 \) Разделим обе части на \( 4 \pi \): \( R^2 = \frac{36 \pi}{4 \pi} \) \( R^2 = 9 \) \( R = 3 \) см Объем шара выражается формулой: \( V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi R^3 \) \( V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 \) \( V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 \) \( V_{\text{шара}} = 4 \pi \cdot 9 \) \( V_{\text{шара}} = 36 \pi \) см\( ^3 \) Ответ: \( V_{\text{шара}} = 36 \pi \) см\( ^3 \). 6. Радиус шара равен 10 см. На расстоянии 8 см от центра шара проведено сечение. Найти \( S_{\text{сечения}} \). Дано: Радиус шара \( R = 10 \) см Расстояние от центра шара до сечения \( d = 8 \) см Найти: \( S_{\text{сечения}} \) Решение: Сечение шара плоскостью является кругом. Радиус этого круга \( r_{\text{сеч}} \) связан с радиусом шара \( R \) и расстоянием от центра шара до сечения \( d \) по теореме Пифагора: \( R^2 = d^2 + r_{\text{сеч}}^2 \) \( 10^2 = 8^2 + r_{\text{сеч}}^2 \) \( 100 = 64 + r_{\text{сеч}}^2 \) \( r_{\text{сеч}}^2 = 100 - 64 \) \( r_{\text{сеч}}^2 = 36 \) \( r_{\text{сеч}} = \sqrt{36} \) \( r_{\text{сеч}} = 6 \) см Площадь сечения (круга) вычисляется по формуле: \( S_{\text{сечения}} = \pi r_{\text{сеч}}^2 \) \( S_{\text{сечения}} = \pi \cdot 6^2 \) \( S_{\text{сечения}} = 36 \pi \) см\( ^2 \) Ответ: \( S_{\text{сечения}} = 36 \pi \) см\( ^2 \). 7. В цилиндр радиуса 9 см вписан шар. Найти объем шара. Дано: Цилиндр, в который вписан шар. Радиус цилиндра \( R_{\text{цил}} = 9 \) см Найти: \( V_{\text{шара}} \) Решение: Если шар вписан в цилиндр, это означает, что шар касается оснований цилиндра и его боковой поверхности. В этом случае радиус шара \( R_{\text{шара}} \) равен радиусу основания цилиндра \( R_{\text{цил}} \). Также высота цилиндра \( H_{\text{цил}} \) равна диаметру шара \( 2 R_{\text{шара}} \). Таким образом, радиус шара: \( R_{\text{шара}} = R_{\text{цил}} = 9 \) см Объем шара: \( V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi R_{\text{шара}}^3 \) \( V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi \cdot 9^3 \) \( V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi \cdot 729 \) \( V_{\text{шара}} = 4 \pi \cdot \frac{729}{3} \) \( V_{\text{шара}} = 4 \pi \cdot 243 \) \( V_{\text{шара}} = 972 \pi \) см\( ^3 \) Ответ: \( V_{\text{шара}} = 972 \pi \) см\( ^3 \).