5 Вариант
1. Представьте в виде корня из числа:
а) \(1^{\frac{2}{3}}\)
Решение:
\(1^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{1^2} = \sqrt[3]{1} = 1\)
б) \(2^{\frac{4}{9}}\)
Решение:
\(2^{\frac{4}{9}} = \sqrt[9]{2^4} = \sqrt[9]{16}\)
в) \(34^{\frac{5}{6}}\)
Решение:
\(34^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{34^5}\)
г) \(4^{-\frac{2}{7}}\)
Решение:
\(4^{-\frac{2}{7}} = \frac{1}{4^{\frac{2}{7}}} = \frac{1}{\sqrt[7]{4^2}} = \frac{1}{\sqrt[7]{16}}\)
д) \(21^{0,25}\)
Решение:
\(21^{0,25} = 21^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{21}\)
е) \(3^{-0,4}\)
Решение:
\(3^{-0,4} = 3^{-\frac{4}{10}} = 3^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{3^{\frac{2}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{3^2}} = \frac{1}{\sqrt[5]{9}}\)
2. Представьте в виде степени с рациональным показателем:
а) \(\sqrt[5]{2^2}\)
Решение:
\(\sqrt[5]{2^2} = 2^{\frac{2}{5}}\)
б) \(\sqrt[7]{8^5}\)
Решение:
\(\sqrt[7]{8^5} = 8^{\frac{5}{7}}\)
в) \(\sqrt[11]{5^2}\)
Решение:
\(\sqrt[11]{5^2} = 5^{\frac{2}{11}}\)
г) \(\sqrt{3}\)
Решение:
\(\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}\)
3. Решите уравнения:
а) \(2^x = 4\)
Решение:
\(2^x = 2^2\)
\(x = 2\)
Ответ: \(x = 2\)
б) \(10^x = 100\)
Решение:
\(10^x = 10^2\)
\(x = 2\)
Ответ: \(x = 2\)
в) \(8^x = \frac{1}{64}\)
Решение:
\(8^x = \frac{1}{8^2}\)
\(8^x = 8^{-2}\)
\(x = -2\)
Ответ: \(x = -2\)
г) \(5^{x+3} = 25\)
Решение:
\(5^{x+3} = 5^2\)
\(x+3 = 2\)
\(x = 2 - 3\)
\(x = -1\)
Ответ: \(x = -1\)
д) \(4^{2x} = 4^3 \cdot 4^5\)
Решение:
\(4^{2x} = 4^{3+5}\)
\(4^{2x} = 4^8\)
\(2x = 8\)
\(x = \frac{8}{2}\)
\(x = 4\)
Ответ: \(x = 4\)
4. Вычислите:
а) \(34^0\)
Решение:
\(34^0 = 1\)
б) \(25^{\frac{1}{2}}\)
Решение:
\(25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5\)
в) \(8^{\frac{2}{7}} \cdot 8^{\frac{5}{7}}\)
Решение:
\(8^{\frac{2}{7}} \cdot 8^{\frac{5}{7}} = 8^{\frac{2}{7} + \frac{5}{7}} = 8^{\frac{7}{7}} = 8^1 = 8\)
г) \(4^{\frac{2}{3}} \cdot 16^{\frac{2}{3}}\)
Решение:
\(4^{\frac{2}{3}} \cdot 16^{\frac{2}{3}} = (4 \cdot 16)^{\frac{2}{3}} = 64^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64^2} = (\sqrt[3]{64})^2 = 4^2 = 16\)
5. Решите уравнение:
\(9x^2 - 2x - 15 = 1\)
Решение:
Перенесем 1 в левую часть уравнения:
\(9x^2 - 2x - 15 - 1 = 0\)
\(9x^2 - 2x - 16 = 0\)
Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=9\), \(b=-2\), \(c=-16\).
Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\):
\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-16)\)
\(D = 4 - 36 \cdot (-16)\)
\(D = 4 + 576\)
\(D = 580\)
Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\(x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{580}}{2 \cdot 9}\)
\(x_1 = \frac{2 + \sqrt{580}}{18}\)
Упростим \(\sqrt{580}\):
\(\sqrt{580} = \sqrt{4 \cdot 145} = 2\sqrt{145}\)
Тогда:
\(x_1 = \frac{2 + 2\sqrt{145}}{18} = \frac{2(1 + \sqrt{145})}{18} = \frac{1 + \sqrt{145}}{9}\)
\(x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{580}}{2 \cdot 9}\)
\(x_2 = \frac{2 - \sqrt{580}}{18}\)
\(x_2 = \frac{2 - 2\sqrt{145}}{18} = \frac{2(1 - \sqrt{145})}{18} = \frac{1 - \sqrt{145}}{9}\)
Ответ: \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{145}}{9}\), \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{145}}{9}\)