Решение: Показательная и логарифмическая функции (Вариант 1)

Вот решения задач из самостоятельной работы. Самостоятельная работа по теме «Показательная и логарифмическая функции» ВАРИАНТ 1 1. Вычислить \(2^{3\log_2 5}\) Решение: Используем свойство логарифма \(a^{\log_a b} = b\). Сначала преобразуем выражение \(3\log_2 5\) с помощью свойства \(k \log_a b = \log_a b^k\). Тогда \(3\log_2 5 = \log_2 5^3 = \log_2 125\). Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \(2^{3\log_2 5} = 2^{\log_2 125}\). По свойству \(a^{\log_a b} = b\), получаем: \(2^{\log_2 125} = 125\). Ответ: 125 2. Вычислить \(10^{1+\lg 4}\) Решение: Используем свойство степеней \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\). \(10^{1+\lg 4} = 10^1 \cdot 10^{\lg 4}\). Мы знаем, что \(10^1 = 10\). Также используем свойство логарифма \(a^{\log_a b} = b\). В данном случае, \(\lg\) означает логарифм по основанию 10, то есть \(\log_{10}\). Значит, \(10^{\lg 4} = 10^{\log_{10} 4} = 4\). Теперь перемножим полученные значения: \(10 \cdot 4 = 40\). Ответ: 40 3. Решить уравнение \(6^x = 216\) Решение: Для решения показательного уравнения нужно привести обе части к одному основанию. Мы знаем, что \(216 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3\). Тогда уравнение можно переписать как: \(6^x = 6^3\). Если основания равны, то и показатели степени должны быть равны: \(x = 3\). Ответ: 3 4. Решить уравнение \(3^{x+2} + 3^x = 810\) Решение: Используем свойство степеней \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\). \(3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2\). Тогда уравнение примет вид: \(3^x \cdot 3^2 + 3^x = 810\). \(3^x \cdot 9 + 3^x = 810\). Вынесем \(3^x\) за скобки: \(3^x (9 + 1) = 810\). \(3^x \cdot 10 = 810\). Разделим обе части на 10: \(3^x = \frac{810}{10}\). \(3^x = 81\). Теперь приведем правую часть к основанию 3. Мы знаем, что \(81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4\). \(3^x = 3^4\). Следовательно, \(x = 4\). Ответ: 4 5. Найти целые решения неравенства на отрезке \([-5; 5]\) \[\frac{1}{3^{x-1}} \le \frac{1}{9}\] Решение: Сначала преобразуем неравенство. \[\frac{1}{3^{x-1}} \le \frac{1}{9}\] Можно записать \(3^{x-1}\) как \(3^x \cdot 3^{-1} = \frac{3^x}{3}\). Тогда левая часть будет \(\frac{1}{\frac{3^x}{3}} = \frac{3}{3^x}\). Неравенство примет вид: \[\frac{3}{3^x} \le \frac{1}{9}\] Перевернем обе части неравенства, при этом знак неравенства изменится на противоположный (так как обе части положительны): \[\frac{3^x}{3} \ge 9\] Умножим обе части на 3: \[3^x \ge 9 \cdot 3\] \[3^x \ge 27\] Представим 27 как степень тройки: \(27 = 3^3\). \[3^x \ge 3^3\] Так как основание \(3 > 1\), то функция \(y = 3^x\) возрастающая, и при сравнении показателей знак неравенства сохраняется: \(x \ge 3\). Теперь нужно найти целые решения этого неравенства на отрезке \([-5; 5]\). Это означает, что \(x\) должен удовлетворять двум условиям: \(x \ge 3\) и \(-5 \le x \le 5\). Объединяя эти условия, получаем: \(3 \le x \le 5\). Целые числа, удовлетворяющие этому условию, это 3, 4, 5. Ответ: 3, 4, 5 6. Решить уравнение \(\log_3 (2 - 5x) = 3\) Решение: По определению логарифма, если \(\log_a b = c\), то \(a^c = b\). В нашем случае \(a=3\), \(b=(2-5x)\), \(c=3\). Тогда: \(3^3 = 2 - 5x\). \(27 = 2 - 5x\). Перенесем 2 в левую часть: \(27 - 2 = -5x\). \(25 = -5x\). Разделим обе части на -5: \(x = \frac{25}{-5}\). \(x = -5\). Обязательно нужно проверить область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля: \(2 - 5x > 0\). \(-5x > -2\). Разделим на -5, при этом знак неравенства изменится: \(x < \frac{-2}{-5}\). \(x < \frac{2}{5}\). Так как \(x = -5\) удовлетворяет условию \(x < \frac{2}{5}\) (поскольку \(-5 < 0.4\)), то это решение является верным. Ответ: -5 7. Решить уравнение \(\log_3 (2 - x) + \log_3 (4 - x) = 1\) Решение: Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов. Для первого логарифма: \(2 - x > 0 \Rightarrow x < 2\). Для второго логарифма: \(4 - x > 0 \Rightarrow x < 4\). Общая ОДЗ: \(x < 2\). Используем свойство логарифмов \(\log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N)\). \(\log_3 ((2 - x)(4 - x)) = 1\). По определению логарифма, если \(\log_a b = c\), то \(a^c = b\). В нашем случае \(a=3\), \(b=((2-x)(4-x))\), \(c=1\). Тогда: \(3^1 = (2 - x)(4 - x)\). \(3 = 8 - 2x - 4x + x^2\). \(3 = x^2 - 6x + 8\). Перенесем 3 в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \(0 = x^2 - 6x + 8 - 3\). \(x^2 - 6x + 5 = 0\). Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта или теоремы Виета. По теореме Виета: Сумма корней \(x_1 + x_2 = 6\). Произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = 5\). Легко подобрать корни: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\). Теперь проверим эти корни на соответствие ОДЗ \(x < 2\). Для \(x_1 = 1\): \(1 < 2\). Это решение подходит. Для \(x_2 = 5\): \(5 < 2\). Это неверно, поэтому \(x_2 = 5\) не является решением. Ответ: 1