Задача 14. Найти значение выражения \(\overline{A \wedge B} \leftrightarrow \overline{A} \vee \overline{B}\) и убедиться, что при всех значениях A и B - это истинное значение.
Решение:
Для того чтобы найти значение выражения и убедиться, что оно всегда истинно, мы можем построить таблицу истинности для всех возможных значений логических переменных A и B.
Вспомним основные логические операции:
- \(\wedge\) (конъюнкция, "И"): истинна, только если оба операнда истинны.
- \(\vee\) (дизъюнкция, "ИЛИ"): истинна, если хотя бы один операнд истинен.
- \(\overline{\phantom{X}}\) (отрицание, "НЕ"): меняет истинное значение на ложное, и ложное на истинное.
- \(\leftrightarrow\) (эквивалентность, "тогда и только тогда"): истинна, если оба операнда имеют одинаковое истинное значение (оба истинны или оба ложны).
Построим таблицу истинности:
| A | B | \(A \wedge B\) | \(\overline{A \wedge B}\) | \(\overline{A}\) | \(\overline{B}\) | \(\overline{A} \vee \overline{B}\) | \(\overline{A \wedge B} \leftrightarrow \overline{A} \vee \overline{B}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Пояснения к таблице:
- Столбцы A и B: Перечисляем все возможные комбинации истинности (1) и ложности (0) для переменных A и B.
- Столбец \(A \wedge B\): Вычисляем конъюнкцию A и B. Она истинна (1) только в последней строке, когда A=1 и B=1. В остальных случаях она ложна (0).
- Столбец \(\overline{A \wedge B}\): Вычисляем отрицание значения из столбца \(A \wedge B\). Если \(A \wedge B\) было 0, то \(\overline{A \wedge B}\) становится 1. Если \(A \wedge B\) было 1, то \(\overline{A \wedge B}\) становится 0.
- Столбец \(\overline{A}\): Вычисляем отрицание значения A.
- Столбец \(\overline{B}\): Вычисляем отрицание значения B.
- Столбец \(\overline{A} \vee \overline{B}\): Вычисляем дизъюнкцию значений из столбцов \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\). Она истинна (1), если хотя бы одно из \(\overline{A}\) или \(\overline{B}\) истинно. Она ложна (0) только в последней строке, когда \(\overline{A}=0\) и \(\overline{B}=0\).
- Столбец \(\overline{A \wedge B} \leftrightarrow \overline{A} \vee \overline{B}\): Вычисляем эквивалентность значений из столбцов \(\overline{A \wedge B}\) и \(\overline{A} \vee \overline{B}\). Эквивалентность истинна (1), если значения в этих двух столбцах совпадают.
Как видно из последнего столбца таблицы, значение выражения \(\overline{A \wedge B} \leftrightarrow \overline{A} \vee \overline{B}\) всегда равно 1 (истинно) при любых комбинациях значений A и B.
Это выражение является одним из законов де Моргана в логике, который гласит, что отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний.
Ответ: Значение выражения \(\overline{A \wedge B} \leftrightarrow \overline{A} \vee \overline{B}\) всегда истинно (равно 1) при всех возможных значениях A и B.