Разложение (2a - 3b)^4 и поиск коэффициента a^3b^4

Задание 4. Напишите разложение \( (2a - 3b)^4 \). Решение: Для разложения воспользуемся формулой бинома Ньютона: \[ (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k \] В нашем случае \( x = 2a \), \( y = -3b \), \( n = 4 \). Коэффициенты четвертой строки треугольника Паскаля: 1, 4, 6, 4, 1. \[ (2a - 3b)^4 = 1 \cdot (2a)^4 + 4 \cdot (2a)^3 \cdot (-3b) + 6 \cdot (2a)^2 \cdot (-3b)^2 + 4 \cdot (2a) \cdot (-3b)^3 + 1 \cdot (-3b)^4 \] Вычислим каждое слагаемое: 1) \( (2a)^4 = 16a^4 \) 2) \( 4 \cdot 8a^3 \cdot (-3b) = -96a^3b \) 3) \( 6 \cdot 4a^2 \cdot 9b^2 = 216a^2b^2 \) 4) \( 4 \cdot 2a \cdot (-27b^3) = -216ab^3 \) 5) \( (-3b)^4 = 81b^4 \) Ответ: \[ 16a^4 - 96a^3b + 216a^2b^2 - 216ab^3 + 81b^4 \] Задание 5. Найдите коэффициент при слагаемом \( a^3b^4 \) в разложении \( (a + b)^7 \). Решение: Общий член разложения бинома \( (a + b)^n \) имеет вид: \[ T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k \] Нам нужно найти коэффициент при \( a^3b^4 \). Здесь \( n = 7 \), \( k = 4 \). Коэффициент равен числу сочетаний из 7 по 4: \[ C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} \] \[ C_7^4 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 7 \cdot 5 = 35 \] Ответ: 35. Задание 6. Представьте в виде суммы: \( (3x^2 + \frac{2}{x})^4 \). Решение: Используем формулу бинома Ньютона для \( n = 4 \): \[ (3x^2 + \frac{2}{x})^4 = 1 \cdot (3x^2)^4 + 4 \cdot (3x^2)^3 \cdot (\frac{2}{x}) + 6 \cdot (3x^2)^2 \cdot (\frac{2}{x})^2 + 4 \cdot (3x^2) \cdot (\frac{2}{x})^3 + 1 \cdot (\frac{2}{x})^4 \] Выполним преобразования: 1) \( (3x^2)^4 = 81x^8 \) 2) \( 4 \cdot 27x^6 \cdot \frac{2}{x} = 216x^5 \) 3) \( 6 \cdot 9x^4 \cdot \frac{4}{x^2} = 216x^2 \) 4) \( 4 \cdot 3x^2 \cdot \frac{8}{x^3} = \frac{96}{x} \) 5) \( (\frac{2}{x})^4 = \frac{16}{x^4} \) Ответ: \[ 81x^8 + 216x^5 + 216x^2 + \frac{96}{x} + \frac{16}{x^4} \]