Решение СЛАУ методом Гаусса

Вариант 42. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} 3x_1 - x_2 + x_3 = 3 \\ 3x_1 + 2x_2 - 4x_3 = 1 \\ -x_1 + 5x_2 - 7x_3 = -3 \end{cases} \] Запишем расширенную матрицу системы: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & -4 & 1 \\ -1 & 5 & -7 & -3 \end{array} \right) \] Для удобства вычислений поменяем первую и третью строки местами: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} -1 & 5 & -7 & -3 \\ 3 & 2 & -4 & 1 \\ 3 & -1 & 1 & 3 \end{array} \right) \] Умножим первую строку на \(-1\), чтобы получить единицу в первом столбце: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -5 & 7 & 3 \\ 3 & 2 & -4 & 1 \\ 3 & -1 & 1 & 3 \end{array} \right) \] Обнулим элементы в первом столбце под главной диагональю. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на \(-3\), и к третьей строке прибавим первую, умноженную на \(-3\): \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -5 & 7 & 3 \\ 0 & 17 & -25 & -8 \\ 0 & 14 & -20 & -6 \end{array} \right) \] Разделим третью строку на 2 для упрощения: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -5 & 7 & 3 \\ 0 & 17 & -25 & -8 \\ 0 & 7 & -10 & -3 \end{array} \right) \] Чтобы получить 1 во второй строке второго столбца, вычтем из второй строки третью, умноженную на 2: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -5 & 7 & 3 \\ 0 & 3 & -5 & -2 \\ 0 & 7 & -10 & -3 \end{array} \right) \] Теперь из третьей строки вычтем вторую, умноженную на 2: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -5 & 7 & 3 \\ 0 & 3 & -5 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \] Поменяем вторую и третью строки местами: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -5 & 7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -5 & -2 \end{array} \right) \] Из третьей строки вычтем вторую, умноженную на 3: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -5 & 7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -5 & -5 \end{array} \right) \] Разделим третью строку на \(-5\): \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -5 & 7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \] Матрица приведена к ступенчатому виду. Запишем соответствующую систему уравнений: \[ \begin{cases} x_1 - 5x_2 + 7x_3 = 3 \\ x_2 = 1 \\ x_3 = 1 \end{cases} \] Подставим значения \(x_2\) и \(x_3\) в первое уравнение: \[ x_1 - 5(1) + 7(1) = 3 \] \[ x_1 - 5 + 7 = 3 \] \[ x_1 + 2 = 3 \] \[ x_1 = 1 \] Ответ: \(x_1 = 1, x_2 = 1, x_3 = 1\).