Решение задачи: прямая AB и пересечение прямых

Вариант 9 Задача №1 Дано: \(A(1; 3)\), \(B(-1; 4)\) \(l_1: 5x + 2y - 4 = 0\) \(l_2: 2x + 3y + 5 = 0\) 1) Написать уравнение прямой \(AB\). Уравнение прямой, проходящей через две точки: \[ \frac{x - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y - y_A}{y_B - y_A} \] \[ \frac{x - 1}{-1 - 1} = \frac{y - 3}{4 - 3} \Rightarrow \frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 3}{1} \] \[ x - 1 = -2(y - 3) \Rightarrow x - 1 = -2y + 6 \] \[ x + 2y - 7 = 0 \] 2) Найти координаты точки \(M\) пересечения прямых \(l_1\) и \(l_2\). Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 5x + 2y = 4 \\ 2x + 3y = -5 \end{cases} \] Умножим первое на 3, второе на -2: \[ \begin{cases} 15x + 6y = 12 \\ -4x - 6y = 10 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 11x = 22 \Rightarrow x = 2 \] Подставим \(x\) в первое уравнение: \[ 5(2) + 2y = 4 \Rightarrow 10 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = -6 \Rightarrow y = -3 \] Точка \(M(2; -3)\). 3) Написать уравнение прямой, проходящей через \(M\) параллельно \(AB\). Направляющий вектор прямой \(AB\) есть \(\vec{p} = (-2; 1)\). Уравнение искомой прямой: \[ \frac{x - 2}{-2} = \frac{y - (-3)}{1} \Rightarrow x - 2 = -2y - 6 \] \[ x + 2y + 4 = 0 \] 4) Найти угол между прямыми \(l_1\) и \(l_2\). Нормальные векторы: \(\vec{n_1} = (5; 2)\), \(\vec{n_2} = (2; 3)\). \[ \cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|5 \cdot 2 + 2 \cdot 3|}{\sqrt{5^2 + 2^2} \cdot \sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{16}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{13}} = \frac{16}{\sqrt{377}} \] \[ \phi = \arccos \left( \frac{16}{\sqrt{377}} \right) \] 5) Расстояние от точки \(A(1; 3)\) до прямой \(l_1: 5x + 2y - 4 = 0\). \[ d = \frac{|5(1) + 2(3) - 4|}{\sqrt{5^2 + 2^2}} = \frac{|5 + 6 - 4|}{\sqrt{29}} = \frac{7}{\sqrt{29}} \] Задача №2 Дано: \(L: \begin{cases} 2x + y - 3z - 7 = 0 \\ x - y + 2z - 5 = 0 \end{cases}\) \(\alpha: 2x + 3y - 4z + 6 = 0\) \(B(-1; 4; \text{не указано, примем } 0 \text{ или точку из условия выше})\). Если точка \(B\) из задачи 1, то \(B(-1; 4)\) в 2D, для 3D обычно дается три координаты. Предположим, нужно найти точку пересечения \(L\) и \(\alpha\). 1) Координаты точки \(M\) пересечения \(L\) и \(\alpha\). Сложим уравнения прямой \(L\): \[ 3x - z - 12 = 0 \Rightarrow z = 3x - 12 \] Вычтем из первого два вторых: \[ 3y - 7z + 3 = 0 \Rightarrow 3y = 7(3x - 12) - 3 = 21x - 84 - 3 = 21x - 87 \Rightarrow y = 7x - 29 \] Подставим в уравнение плоскости \(\alpha\): \[ 2x + 3(7x - 29) - 4(3x - 12) + 6 = 0 \] \[ 2x + 21x - 87 - 12x + 48 + 6 = 0 \] \[ 11x - 33 = 0 \Rightarrow x = 3 \] Тогда \(y = 7(3) - 29 = -8\), \(z = 3(3) - 12 = -3\). Точка \(M(3; -8; -3)\). 2) Угол между прямой \(L\) и плоскостью \(\alpha\). Направляющий вектор прямой \(L\): \(\vec{s} = \vec{n_{L1}} \times \vec{n_{L2}}\). \[ \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(2-3) - \vec{j}(4+3) + \vec{k}(-2-1) = (-1; -7; -3) \] Нормаль плоскости \(\vec{n_{\alpha}} = (2; 3; -4)\). \[ \sin \theta = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n_{\alpha}}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n_{\alpha}}|} = \frac{|-1(2) - 7(3) - 3(-4)|}{\sqrt{1+49+9} \cdot \sqrt{4+9+16}} = \frac{|-2 - 21 + 12|}{\sqrt{59} \cdot \sqrt{29}} = \frac{11}{\sqrt{1711}} \] \[ \theta = \arcsin \left( \frac{11}{\sqrt{1711}} \right) \] 3) Уравнение плоскости через прямую \(L\) перпендикулярно \(\alpha\). Используем пучок плоскостей: \[ 2x + y - 3z - 7 + \lambda(x - y + 2z - 5) = 0 \] \[ (2+\lambda)x + (1-\lambda)y + (-3+2\lambda)z + (-7-5\lambda) = 0 \] Условие перпендикулярности к \(\alpha (2; 3; -4)\): \[ 2(2+\lambda) + 3(1-\lambda) - 4(-3+2\lambda) = 0 \] \[ 4 + 2\lambda + 3 - 3\lambda + 12 - 8\lambda = 0 \] \[ 19 - 9\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{19}{9} \] Подставляем \(\lambda\) и получаем искомое уравнение.