Решение СЛАУ матричным методом: Вариант 33

Вариант 33. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) матричным методом. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} x_1 - 3x_2 + x_3 = -1 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 2 \\ -2x_1 + x_2 + 9x_3 = 8 \end{cases} \] 1. Запишем систему в матричном виде \( A \cdot X = B \), где: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 9 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} \] 2. Найдем определитель матрицы \( A \): \[ \Delta = \det(A) = 1 \cdot (-1 \cdot 9 - 1 \cdot 1) - (-3) \cdot (2 \cdot 9 - 1 \cdot (-2)) + 1 \cdot (2 \cdot 1 - (-1) \cdot (-2)) \] \[ \Delta = 1 \cdot (-10) + 3 \cdot (18 + 2) + 1 \cdot (2 - 2) = -10 + 60 + 0 = 50 \] Так как \( \Delta \neq 0 \), матрица \( A \) невырожденная, и решение существует. 3. Найдем обратную матрицу \( A^{-1} \) по формуле \( A^{-1} = \frac{1}{\Delta} \cdot A_{*}^{T} \), где \( A_{*} \) — матрица алгебраических дополнений. Вычислим алгебраические дополнения \( A_{ij} \): \[ A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 9 \end{vmatrix} = -9 - 1 = -10 \] \[ A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 9 \end{vmatrix} = -(18 + 2) = -20 \] \[ A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 2 = 0 \] \[ A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 9 \end{vmatrix} = -(-27 - 1) = 28 \] \[ A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 9 \end{vmatrix} = 9 + 2 = 11 \] \[ A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 6) = 5 \] \[ A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -3 + 1 = -2 \] \[ A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 2) = 1 \] \[ A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1 + 6 = 5 \] Составим союзную (присоединенную) матрицу \( A_{*}^{T} \): \[ A_{*}^{T} = \begin{pmatrix} -10 & 28 & -2 \\ -20 & 11 & 1 \\ 0 & 5 & 5 \end{pmatrix} \] Тогда обратная матрица: \[ A^{-1} = \frac{1}{50} \begin{pmatrix} -10 & 28 & -2 \\ -20 & 11 & 1 \\ 0 & 5 & 5 \end{pmatrix} \] 4. Найдем решение системы \( X = A^{-1} \cdot B \): \[ X = \frac{1}{50} \begin{pmatrix} -10 & 28 & -2 \\ -20 & 11 & 1 \\ 0 & 5 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} \] \[ X = \frac{1}{50} \begin{pmatrix} (-10) \cdot (-1) + 28 \cdot 2 + (-2) \cdot 8 \\ (-20) \cdot (-1) + 11 \cdot 2 + 1 \cdot 8 \\ 0 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 + 5 \cdot 8 \end{pmatrix} = \frac{1}{50} \begin{pmatrix} 10 + 56 - 16 \\ 20 + 22 + 8 \\ 0 + 10 + 40 \end{pmatrix} = \frac{1}{50} \begin{pmatrix} 50 \\ 50 \\ 50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] Ответ: \( x_1 = 1, x_2 = 1, x_3 = 1 \).