Решение Задач на Производную: Примеры и Формулы

Вариант 1 Задание 1. Найти производную: 1) \( (13^x)' = 13^x \ln 13 \) 2) \( (x^{12})' = 12x^{11} \) 3) \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \) Задание 2. Записать правило производной: \[ (U + V)' = U' + V' \] Задание 3. Найти производную: 1) \( y = 24^x + 7x^{1/7} - \log_5 x \) \[ y' = 24^x \ln 24 + 7 \cdot \frac{1}{7}x^{1/7 - 1} - \frac{1}{x \ln 5} = 24^x \ln 24 + x^{-6/7} - \frac{1}{x \ln 5} \] 2) \( y = 6 \cdot \ln x \) \[ y' = 6 \cdot \frac{1}{x} = \frac{6}{x} \] 3) \( y = \frac{x^3}{\sin x + e^x} \) Используем формулу \( (\frac{U}{V})' = \frac{U'V - UV'}{V^2} \): \[ y' = \frac{(x^3)'(\sin x + e^x) - x^3(\sin x + e^x)'}{(\sin x + e^x)^2} = \frac{3x^2(\sin x + e^x) - x^3(\cos x + e^x)}{(\sin x + e^x)^2} \] Задание 4. Найти значение производной в точке: 1) \( f(x) = 2x^9 - 6x^{-2} - 5x - 12 \), при \( x = 1 \) Находим производную: \[ f'(x) = 18x^8 - 6 \cdot (-2)x^{-3} - 5 = 18x^8 + 12x^{-3} - 5 \] Подставляем \( x = 1 \): \[ f'(1) = 18 \cdot 1^8 + 12 \cdot 1^{-3} - 5 = 18 + 12 - 5 = 25 \] 2) \( f(x) = 3^x \cdot 7x^4 + \log_9 x \), при \( x = 3 \) Находим производную (используем правило произведения): \[ f'(x) = (3^x)' \cdot 7x^4 + 3^x \cdot (7x^4)' + (\log_9 x)' \] \[ f'(x) = 3^x \ln 3 \cdot 7x^4 + 3^x \cdot 28x^3 + \frac{1}{x \ln 9} \] Подставляем \( x = 3 \): \[ f'(3) = 3^3 \ln 3 \cdot 7 \cdot 3^4 + 3^3 \cdot 28 \cdot 3^3 + \frac{1}{3 \ln 9} \] \[ f'(3) = 27 \ln 3 \cdot 567 + 27 \cdot 756 + \frac{1}{3 \ln 3^2} \] \[ f'(3) = 15309 \ln 3 + 20412 + \frac{1}{6 \ln 3} \]