Область определения функции y = sqrt((5-x)(x+8)) - Решение

Задание №292. Найдите область определения функции. а) \( y = \sqrt{(5 - x)(x + 8)} \) Решение: Область определения функции, содержащей квадратный корень, задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ (5 - x)(x + 8) \ge 0 \] Для решения данного неравенства найдем корни уравнения \( (5 - x)(x + 8) = 0 \): 1) \( 5 - x = 0 \Rightarrow x = 5 \) 2) \( x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8 \) Отметим полученные точки на числовой прямой и определим знаки выражения на интервалах: - Если \( x = 0 \) (интервал от -8 до 5), то \( (5 - 0)(0 + 8) = 5 \cdot 8 = 40 > 0 \). - Если \( x = 6 \), то \( (5 - 6)(6 + 8) = -1 \cdot 14 = -14 < 0 \). - Если \( x = -9 \), то \( (5 - (-9))(-9 + 8) = 14 \cdot (-1) = -14 < 0 \). Так как нам нужно \( \ge 0 \), выбираем промежуток \( [-8; 5] \). Ответ: \( D(y) = [-8; 5] \). б) \( y = \sqrt{(x + 12)(x - 1)(x - 9)} \) Решение: Условие существования корня: \[ (x + 12)(x - 1)(x - 9) \ge 0 \] Найдем нули функции: 1) \( x + 12 = 0 \Rightarrow x = -12 \) 2) \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \) 3) \( x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9 \) Расставим знаки методом интервалов: - На промежутке \( (9; +\infty) \), например при \( x = 10 \): \( (+) \cdot (+) \cdot (+) = + \). - На промежутке \( (1; 9) \), например при \( x = 2 \): \( (+) \cdot (+) \cdot (-) = - \). - На промежутке \( (-12; 1) \), например при \( x = 0 \): \( (+) \cdot (-) \cdot (-) = + \). - На промежутке \( (-\infty; -12) \), например при \( x = -13 \): \( (-) \cdot (-) \cdot (-) = - \). Нам подходят интервалы, где выражение больше или равно нулю. Ответ: \( D(y) = [-12; 1] \cup [9; +\infty) \).