Решение задачи: треугольник в квадрате

Задача Дано: Правильный треугольник вписан в окружность радиуса \( R_3 = 3 \) дм. На стороне этого треугольника построен квадрат. Найти: радиус окружности \( R_4 \), описанной около этого квадрата. Решение: 1. Найдем сторону правильного треугольника \( a_3 \). Формула связи стороны правильного треугольника с радиусом описанной около него окружности: \[ a_3 = R_3 \sqrt{3} \] Подставим значение \( R_3 = 3 \) дм: \[ a_3 = 3\sqrt{3} \text{ (дм)} \] 2. По условию, на стороне треугольника построен квадрат. Значит, сторона квадрата \( a_4 \) равна стороне треугольника \( a_3 \): \[ a_4 = a_3 = 3\sqrt{3} \text{ (дм)} \] 3. Найдем радиус окружности \( R_4 \), описанной около квадрата. Формула связи радиуса описанной окружности со стороной квадрата: \[ R_4 = \frac{a_4}{\sqrt{2}} \] Подставим значение \( a_4 \): \[ R_4 = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \] 4. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \): \[ R_4 = \frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{2} = 1,5\sqrt{6} \text{ (дм)} \] Ответ: \( 1,5\sqrt{6} \) дм.