Решение задач: Вариант 15

Вариант 15 Задание 1. Вычислить а) \(\sqrt[5]{160} : \sqrt[5]{-5} + \left(\frac{1}{7}\right)^{-2} \cdot 343 + 4^0\) Решение: \[\sqrt[5]{\frac{160}{-5}} + 7^2 \cdot 343 + 1 = \sqrt[5]{-32} + 49 \cdot 343 + 1 = -2 + 16807 + 1 = 16806\] б) \(\log_6 \frac{1}{36} - 5^{\log_5 2}\) Решение: \[\log_6 6^{-2} - 2 = -2 - 2 = -4\] в) \(8^{3n} : 2^{7n}\) при \(n = -0,5\) Решение: \[(2^3)^{3n} : 2^{7n} = 2^{9n} : 2^{7n} = 2^{9n - 7n} = 2^{2n}\] Подставим \(n = -0,5\): \[2^{2 \cdot (-0,5)} = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5\] Задание 2. Решить уравнения а) \(9^{x+1} = 27^x\) \[(3^2)^{x+1} = (3^3)^x\] \[3^{2x+2} = 3^{3x}\] \[2x + 2 = 3x\] \[x = 2\] Ответ: 2. б) \(2^{x+3} - 5 \cdot 2^x = 24\) \[2^x \cdot 2^3 - 5 \cdot 2^x = 24\] \[2^x (8 - 5) = 24\] \[2^x \cdot 3 = 24\] \[2^x = 8\] \[2^x = 2^3\] \[x = 3\] Ответ: 3. в) \(\log_{\frac{1}{2}} (5+x) = -2\) ОДЗ: \(5+x > 0 \Rightarrow x > -5\) \[5+x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\] \[5+x = 2^2\] \[5+x = 4\] \[x = -1\] (входит в ОДЗ) Ответ: -1. г) \(\log_3 (3x-2) = 2\) ОДЗ: \(3x-2 > 0 \Rightarrow x > \frac{2}{3}\) \[3x-2 = 3^2\] \[3x-2 = 9\] \[3x = 11\] \[x = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}\] (входит в ОДЗ) Ответ: \(3\frac{2}{3}\). Задание 3. Решить неравенства а) \(7^{x+5} \le \left(\frac{1}{49}\right)^x\) \[7^{x+5} \le (7^{-2})^x\] \[7^{x+5} \le 7^{-2x}\] Так как основание \(7 > 1\): \[x + 5 \le -2x\] \[3x \le -5\] \[x \le -\frac{5}{3}\] Ответ: \(x \in (-\infty; -1\frac{2}{3}]\) б) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{5x-4} < \left(\frac{1}{4}\right)^x\) \[\left(\frac{1}{2}\right)^{5x-4} < \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^x\] \[\left(\frac{1}{2}\right)^{5x-4} < \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}\] Так как основание \(0 < \frac{1}{2} < 1\), знак меняется: \[5x - 4 > 2x\] \[3x > 4\] \[x > \frac{4}{3}\] Ответ: \(x \in (1\frac{1}{3}; +\infty)\) в) \(\log_4 (2x+2) < 3\) Система: \[\begin{cases} 2x+2 > 0 \\ 2x+2 < 4^3 \end{cases}\] \[\begin{cases} 2x > -2 \\ 2x+2 < 64 \end{cases}\] \[\begin{cases} x > -1 \\ 2x < 62 \end{cases}\] \[\begin{cases} x > -1 \\ x < 31 \end{cases}\] Ответ: \(x \in (-1; 31)\) Задание 4. Найти скалярное произведение векторов \(\vec{m}\{2; -3; 3\}\) и \(\vec{n}\{-1; 2; -4\}\) Решение: \[\vec{m} \cdot \vec{n} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\] \[\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 2 + 3 \cdot (-4) = -2 - 6 - 12 = -20\] Ответ: -20. Задание 5. Найти площадь поверхности правильной четырехугольной призмы Дано: \(a = 5\) см (сторона основания), \(h = 8\) см (боковое ребро). Решение: Площадь полной поверхности призмы: \[S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}\] Так как призма правильная четырехугольная, в основании квадрат: \[S_{осн} = a^2 = 5^2 = 25 \text{ см}^2\] Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4 \cdot a) \cdot h = (4 \cdot 5) \cdot 8 = 20 \cdot 8 = 160 \text{ см}^2\] \[S_{полн} = 2 \cdot 25 + 160 = 50 + 160 = 210 \text{ см}^2\] Ответ: 210 \(\text{см}^2\).