Решение задачи: Билет №11 (Производная, Случайные величины, Комплексные числа)

Билет № 11 1. Вычисление производной сложной функции. Производная сложной функции \( y = f(g(x)) \) вычисляется по правилу: производная внешней функции умножается на производную внутренней функции. Формула: \[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \] 2. Характеристики дискретных случайных величин. Основными характеристиками являются: - Математическое ожидание \( M(X) = \sum x_i p_i \) (среднее значение). - Дисперсия \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \) (мера разброса значений). - Среднее квадратическое отклонение \( \sigma(X) = \sqrt{D(X)} \). 3. Решите уравнение в комплексных числах: \( x^2 + 4x + 29 = 0 \). Решение: Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29 = 16 - 116 = -100 \] Так как \( D < 0 \), корни будут комплексными. Используем мнимую единицу \( i^2 = -1 \): \[ \sqrt{D} = \sqrt{-100} = 10i \] Находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 10i}{2} \] \[ x_1 = -2 + 5i, \quad x_2 = -2 - 5i \] Ответ: \( -2 \pm 5i \). 4. Вычислить предел: \( \lim_{x \to 4} \frac{5x + 2}{2x + 3} \). Решение: Подставим значение \( x = 4 \) в выражение под знаком предела: \[ \lim_{x \to 4} \frac{5x + 2}{2x + 3} = \frac{5 \cdot 4 + 2}{2 \cdot 4 + 3} = \frac{20 + 2}{8 + 3} = \frac{22}{11} = 2 \] Ответ: 2. 5. Найти общее решение дифференциального уравнения II порядка \( y'' - 6y' + 9y = 0 \). Решение: Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 - 6k + 9 = 0 \] Это уравнение представляет собой полный квадрат: \[ (k - 3)^2 = 0 \implies k_1 = k_2 = 3 \] Так как мы имеем один кратный корень, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид: \[ y = (C_1 + C_2 x) e^{kx} \] Подставляем \( k = 3 \): \[ y = (C_1 + C_2 x) e^{3x} \] Ответ: \( y = (C_1 + C_2 x) e^{3x} \).