Решение задачи: Предел с арктангенсом

Для решения пределов воспользуемся методом замены бесконечно малых функций эквивалентными, что является стандартным школьным и студенческим методом. Решим задачу № 329: \[ \lim_{x \to 1/2} \frac{\text{arctg}(2x-1)}{4x^2-1} \] 1. Заметим, что при \( x \to 1/2 \) аргумент арктангенса \( (2x-1) \to 0 \). 2. Используем эквивалентность: \( \text{arctg}(\alpha) \sim \alpha \) при \( \alpha \to 0 \). В нашем случае \( \text{arctg}(2x-1) \sim 2x-1 \). 3. Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: \( 4x^2-1 = (2x-1)(2x+1) \). 4. Подставим эквивалентность в предел: \[ \lim_{x \to 1/2} \frac{2x-1}{(2x-1)(2x+1)} \] 5. Сократим дробь на \( (2x-1) \): \[ \lim_{x \to 1/2} \frac{1}{2x+1} \] 6. Подставим значение \( x = 1/2 \): \[ \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \] Ответ: \( 1/2 \). Решим задачу № 330: \[ \lim_{x \to -2} \frac{\arcsin(x+2)}{x^2+2x} \] 1. При \( x \to -2 \) аргумент арксинуса \( (x+2) \to 0 \). 2. Используем эквивалентность: \( \arcsin(\alpha) \sim \alpha \) при \( \alpha \to 0 \). Значит, \( \arcsin(x+2) \sim x+2 \). 3. В знаменателе вынесем \( x \) за скобки: \( x^2+2x = x(x+2) \). 4. Подставим в предел: \[ \lim_{x \to -2} \frac{x+2}{x(x+2)} \] 5. Сократим на \( (x+2) \): \[ \lim_{x \to -2} \frac{1}{x} = \frac{1}{-2} = -0,5 \] Ответ: \( -0,5 \). Решим задачу № 340: \[ \lim_{x \to e} \frac{\ln x - 1}{x - e} \] 1. Сделаем замену переменной: пусть \( t = x - e \), тогда \( x = t + e \). При \( x \to e \) имеем \( t \to 0 \). 2. Перепишем числитель: \( \ln(t+e) - 1 = \ln(t+e) - \ln e = \ln\left(\frac{t+e}{e}\right) = \ln\left(1 + \frac{t}{e}\right) \). 3. Используем эквивалентность: \( \ln(1+\alpha) \sim \alpha \) при \( \alpha \to 0 \). Здесь \( \alpha = t/e \). 4. Подставим в предел: \[ \lim_{t \to 0} \frac{t/e}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{e} = \frac{1}{e} \] Ответ: \( 1/e \).