Решение задач по теме Многогранники (Вариант III)

Ниже представлено решение задач из варианта III по теме Многогранники. Задача 1. Сколько диагоналей у девятиугольной призмы? Решение: Количество диагоналей \(n\)-угольной призмы вычисляется по формуле: \[d = n(n - 3)\] Для девятиугольной призмы \(n = 9\): \[d = 9 \cdot (9 - 3) = 9 \cdot 6 = 54\] Ответ: а) 54. Задача 2. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы равна \(48 \text{ см}^2\), а полная поверхность — \(56 \text{ см}^2\). Найдите высоту призмы. Решение: 1) Площадь полной поверхности призмы: \(S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}\). \[56 = 48 + 2S_{\text{осн}}\] \[2S_{\text{осн}} = 56 - 48 = 8\] \[S_{\text{осн}} = 4 \text{ см}^2\] 2) Так как призма правильная четырехугольная, в основании лежит квадрат. Сторона основания \(a\): \[a = \sqrt{S_{\text{осн}}} = \sqrt{4} = 2 \text{ см}\] 3) Площадь боковой поверхности: \(S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h\), где \(P_{\text{осн}} = 4a\). \[48 = (4 \cdot 2) \cdot h\] \[48 = 8h\] \[h = 6 \text{ см}\] Ответ: в) 6 см. Задача 3. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: \(10 \text{ см}\), \(2 \text{ см}\) и \(5 \text{ см}\). Решение: Формула площади полной поверхности: \(S = 2(ab + bc + ac)\). Пусть \(a = 10\), \(b = 2\), \(c = 5\). \[S = 2(10 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 10 \cdot 5) = 2(20 + 10 + 50) = 2 \cdot 80 = 160 \text{ см}^2\] Ответ: б) 160 см\(^2\). Задача 4. Найдите площадь сечения куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью, проходящей через ребро \(AB\) и середину ребра \(C_1C\), если ребро куба равно \(4 \text{ см}\). Решение: Сечением является прямоугольник \(ABMK\), где \(M\) — середина \(CC_1\), \(K\) — середина \(DD_1\). Одна сторона прямоугольника \(AB = 4 \text{ см}\). Вторая сторона \(BM\) находится из прямоугольного треугольника \(BCM\) по теореме Пифагора (\(BC = 4\), \(CM = 2\)): \[BM = \sqrt{BC^2 + CM^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ см}\] Площадь сечения: \[S = AB \cdot BM = 4 \cdot 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5} \text{ см}^2\] В предложенных вариантах такого ответа нет. Ответ: г) другой ответ. Задача 5. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна \(1 \text{ см}\), а сторона основания — \(4 \text{ см}\). Найдите боковое ребро. Решение: Пусть \(H = 1\) — высота, \(a = 4\) — сторона основания. Боковое ребро \(L\) находится из прямоугольного треугольника, где катетами являются высота \(H\) и половина диагонали основания \(d/2\). Диагональ квадрата в основании: \(d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\). Половина диагонали: \(R = 2\sqrt{2}\). По теореме Пифагора: \[L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}\] Ответ: в) 3 см. Задача 6. Найдите боковую поверхность правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна \(2 \text{ см}\), а все двугранные углы при основании — \(60^\circ\). Решение: 1) Площадь основания (правильный треугольник): \[S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \text{ см}^2\] 2) Площадь боковой поверхности через площадь основания и угол наклона боковых граней \(\alpha\): \[S_{\text{бок}} = \frac{S_{\text{осн}}}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{3}}{\cos 60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{0,5} = 2\sqrt{3} \text{ см}^2\] В предложенных вариантах такого ответа нет. Ответ: г) другой ответ.