Решение задач: Объем многогранников

Решение задач по теме «Объем многогранников» (III вариант). Задача 1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 2 см, ширина — 4 см, а диагональ — 6 см. Решение: 1) Пусть \(a = 2\) см, \(b = 4\) см, \(d = 6\) см. Найдем высоту \(c\) из формулы диагонали: \[d^2 = a^2 + b^2 + c^2\] \[6^2 = 2^2 + 4^2 + c^2\] \[36 = 4 + 16 + c^2\] \[c^2 = 36 - 20 = 16 \Rightarrow c = 4 \text{ см.}\] 2) Объем параллелепипеда: \[V = a \cdot b \cdot c = 2 \cdot 4 \cdot 4 = 32 \text{ см}^3.\] Ответ: а) 32 \(см^3\). Задача 2. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 4 см, а сторона — \(\sqrt{3}\) см. Найдите объем призмы. Решение: 1) Площадь основания (правильного шестиугольника): \[S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3} \cdot 3}{2} = 4,5\sqrt{3} \text{ см}^2.\] 2) Объем призмы: \[V = S_{осн} \cdot h = 4,5\sqrt{3} \cdot 4 = 18\sqrt{3} \text{ см}^3.\] Ответ: а) 18\(\sqrt{3}\) \(см^3\). Задача 3. Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого равна 3 \(см^2\), а площади диагональных сечений 15 \(см^2\) и 10 \(см^2\). Найдите объем параллелепипеда. Решение: 1) Пусть \(d_1\) и \(d_2\) — диагонали ромба, \(h\) — высота. \[S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = 3 \Rightarrow d_1 d_2 = 6.\] 2) Площади сечений: \(d_1 h = 15\) и \(d_2 h = 10\). 3) Перемножим их: \((d_1 h) \cdot (d_2 h) = 15 \cdot 10 \Rightarrow (d_1 d_2) \cdot h^2 = 150\). 4) Подставим \(d_1 d_2 = 6\): \(6 \cdot h^2 = 150 \Rightarrow h^2 = 25 \Rightarrow h = 5\). 5) Объем: \(V = S_{осн} \cdot h = 3 \cdot 5 = 15 \text{ см}^3\). Ответ: б) 15 \(см^3\). Задача 4. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если боковое ребро равно 3 см, а сторона основания — 4 см. Решение: 1) В основании квадрат со стороной \(a = 4\). Половина диагонали основания: \[\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ см.}\] 2) Высота пирамиды \(H\) из прямоугольного треугольника (ребро, высота, полудиагональ): \[H^2 = L^2 - (\frac{d}{2})^2 = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1 \Rightarrow H = 1 \text{ см.}\] 3) Объем: \[V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot 1 = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \text{ см}^3.\] Ответ: б) 5\(\frac{1}{3}\) \(см^3\). Задача 5. Найдите объем усеченной пирамиды, площади оснований которой 5 \(см^2\) и 20 \(см^2\), а высота равна 6 см. Решение: Используем формулу объема усеченной пирамиды: \[V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})\] \[V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot (5 + 20 + \sqrt{5 \cdot 20}) = 2 \cdot (25 + \sqrt{100}) = 2 \cdot (25 + 10) = 2 \cdot 35 = 70 \text{ см}^3.\] Ответ: г) другой ответ (70 \(см^3\)). Задача 6. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, параллельная основанию, если она делит высоту в отношении 1:2? Решение: 1) Пусть высота всей пирамиды \(H\), а высота отсеченной (верхней) части \(h\). Если отношение 1:2 от вершины, то \(h = \frac{1}{3}H\). 2) Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия: \[\frac{V_{отс}}{V_{полн}} = (\frac{h}{H})^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}.\] 3) Объем нижней части: \(V_{нижн} = V_{полн} - V_{отс} = 27x - 1x = 26x\). 4) Отношение объемов частей: 1:26. Ответ: г) другой ответ. Задача 7. Ребро тетраэдра равно 6 см. Найдите его объем. Решение: Формула объема правильного тетраэдра со стороной \(a\): \[V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}\] \[V = \frac{6^3\sqrt{2}}{12} = \frac{216\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2} \text{ см}^3.\] Ответ: а) 18\(\sqrt{2}\) \(см^3\).