Решение задачи: Прямые в пространстве и уравнение касательной

Экзаменационный билет №17 Билет содержит теоретический вопрос и практические задания. Ниже представлено решение, оформленное для записи в тетрадь. 1. Прямые в пространстве, скрещивающиеся прямые. Две прямые в пространстве могут: 1) Пересекаться (иметь одну общую точку и лежать в одной плоскости). 2) Быть параллельными (не иметь общих точек и лежать в одной плоскости). 3) Скрещиваться (не иметь общих точек и не лежать в одной плоскости). Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Признак скрещивающихся прямых: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются. 2. Составить уравнение касательной к графику функции \( y = 2x^2 - 3x + 5 \) в точке с абсциссой \( x_0 = -1 \). Решение: Уравнение касательной имеет вид: \( y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \). 1) Найдем значение функции в точке \( x_0 = -1 \): \[ f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 5 = 2 + 3 + 5 = 10 \] 2) Найдем производную функции: \[ f'(x) = (2x^2 - 3x + 5)' = 4x - 3 \] 3) Вычислим значение производной в точке \( x_0 = -1 \): \[ f'(-1) = 4(-1) - 3 = -4 - 3 = -7 \] 4) Подставим найденные значения в уравнение касательной: \[ y = 10 - 7(x - (-1)) \] \[ y = 10 - 7(x + 1) \] \[ y = 10 - 7x - 7 \] \[ y = -7x + 3 \] Ответ: \( y = -7x + 3 \). 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: \( y = x^2 + 1 \), \( y = 2x + 1 \). Решение: 1) Найдем точки пересечения графиков, приравняв правые части уравнений: \[ x^2 + 1 = 2x + 1 \] \[ x^2 - 2x = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \] \[ x_1 = 0, x_2 = 2 \] 2) Площадь фигуры \( S \) вычисляется по формуле: \[ S = \int_{a}^{b} (f_{верх}(x) - f_{ниж}(x)) dx \] На интервале [0; 2] прямая \( y = 2x + 1 \) лежит выше параболы \( y = x^2 + 1 \). \[ S = \int_{0}^{2} (2x + 1 - (x^2 + 1)) dx = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx \] \[ S = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2 = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0 - 0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3} \approx 1,33 \] Ответ: \( \frac{4}{3} \) кв. ед. 4. Вычислить: а) \[ \lim_{x \to \infty} \frac{5x - 7}{8x - 10} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(5 - \frac{7}{x})}{x(8 - \frac{10}{x})} = \frac{5}{8} = 0,625 \] б) Производная функции: \[ (\sqrt{x^3})' = (x^{\frac{3}{2}})' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3\sqrt{x}}{2} \] в) Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha \): \[ \cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = \cos(2 \cdot 75^\circ) = \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] г) Деление комплексных чисел (умножаем на сопряженное знаменателю): \[ \frac{5 - i}{i + 2} = \frac{(5 - i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{10 - 5i - 2i + i^2}{4 - i^2} = \frac{10 - 7i - 1}{4 + 1} = \frac{9 - 7i}{5} = 1,8 - 1,4i \] 5. Построить сечение правильного тетраэдра плоскостью... Решение: 1) Сечение, проходящее через середину бокового ребра параллельно основанию, представляет собой треугольник, подобный основанию. Так как плоскость параллельна основанию и проходит через середину ребра, то стороны сечения являются средними линиями боковых граней тетраэдра. 2) В правильном тетраэдре все грани — равносторонние треугольники. Если ребро тетраэдра \( a = 12 \) см, то сторона сечения \( a_{сеч} = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) см. 3) Сечение — равносторонний треугольник со стороной 6 см. 4) Периметр сечения: \[ P = 3 \cdot a_{сеч} = 3 \cdot 6 = 18 \text{ см} \] 5) Площадь сечения: \[ S = \frac{a_{сеч}^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \] Ответ: \( P = 18 \text{ см} \), \( S = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \).