Решение задачи: Область определения функции

Задание: Найдите область определения функции \[ y = \sqrt{x^2 - 2x - 35} + \frac{3x + 2}{\sqrt{27 - 3x}} \] Решение: Область определения функции \( D(y) \) задается системой неравенств, исходя из условий: 1. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным. 2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Так как второй корень находится в знаменателе, выражение под ним должно быть строго больше нуля. Составим систему неравенств: \[ \begin{cases} x^2 - 2x - 35 \geq 0 \\ 27 - 3x > 0 \end{cases} \] Решим первое неравенство: \( x^2 - 2x - 35 \geq 0 \). Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 2x - 35 = 0 \) по теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 \cdot x_2 = -35 \end{cases} \] Отсюда \( x_1 = 7 \), \( x_2 = -5 \). Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Решением неравенства будут промежутки: \[ x \in (-\infty; -5] \cup [7; +\infty) \] Решим второе неравенство: \( 27 - 3x > 0 \). \[ -3x > -27 \] Разделим на \(-3\), меняя знак неравенства: \[ x < 9 \] То есть \( x \in (-\infty; 9) \). Найдем пересечение полученных решений: \[ \begin{cases} x \in (-\infty; -5] \cup [7; +\infty) \\ x < 9 \end{cases} \] Общим решением системы будет: \[ x \in (-\infty; -5] \cup [7; 9) \] Ответ: \( D(y) = (-\infty; -5] \cup [7; 9) \).