Решение: Реши задачу: решить

Задание 3 а) Выполните действия: \[ 3^{7m} \cdot (3^{3m+4})^2 : 3^{4m-9} \] Решение: 1. При возведении степени в степень показатели перемножаются: \[ (3^{3m+4})^2 = 3^{(3m+4) \cdot 2} = 3^{6m+8} \] 2. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении — вычитаются: \[ 3^{7m} \cdot 3^{6m+8} : 3^{4m-9} = 3^{7m + (6m+8) - (4m-9)} \] 3. Раскроем скобки в показателе: \[ 7m + 6m + 8 - 4m + 9 = 9m + 17 \] Ответ: \( 3^{9m+17} \) б) Выполните действия: \[ (2x^{-5} \cdot x^9 y^{-3})^6 \] Решение: 1. Сначала упростим выражение внутри скобок: \[ 2 \cdot x^{-5+9} \cdot y^{-3} = 2x^4 y^{-3} \] 2. Возведем произведение в шестую степень (каждый множитель отдельно): \[ (2x^4 y^{-3})^6 = 2^6 \cdot (x^4)^6 \cdot (y^{-3})^6 = 64x^{24} y^{-18} \] Ответ: \( 64x^{24} y^{-18} \) а) Вычислите: \[ (234^2 - 23^2) : 211 \] Решение: 1. Воспользуемся формулой разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \): \[ 234^2 - 23^2 = (234 - 23)(234 + 23) = 211 \cdot 257 \] 2. Подставим в исходное выражение: \[ (211 \cdot 257) : 211 = 257 \] Ответ: 257 Задание 7 а) Преобразуйте выражение: \[ \frac{a^{-2}+b^{-2}}{a^{-2}} : \frac{a^{-2}b^{-2}+a^{-4}}{a^{-4}} \] Решение: 1. Упростим первую дробь: \[ \frac{a^{-2}+b^{-2}}{a^{-2}} = \frac{a^{-2}}{a^{-2}} + \frac{b^{-2}}{a^{-2}} = 1 + \frac{a^2}{b^2} = \frac{b^2+a^2}{b^2} \] 2. Упростим вторую дробь: \[ \frac{a^{-2}b^{-2}+a^{-4}}{a^{-4}} = \frac{a^{-2}b^{-2}}{a^{-4}} + \frac{a^{-4}}{a^{-4}} = a^2 b^{-2} + 1 = \frac{a^2}{b^2} + 1 = \frac{a^2+b^2}{b^2} \] 3. Выполним деление: \[ \frac{a^2+b^2}{b^2} : \frac{a^2+b^2}{b^2} = 1 \] Ответ: 1 б) Преобразуйте выражение: \[ \frac{m^{-3}-3}{m^{-3}} - \frac{m^{-6}-9}{m^{-3}} \cdot \frac{1}{m^{-3}-3} \] Решение: 1. Заметим, что \( m^{-6}-9 \) — это разность квадратов: \( (m^{-3})^2 - 3^2 = (m^{-3}-3)(m^{-3}+3) \). 2. Выполним умножение во второй части выражения: \[ \frac{(m^{-3}-3)(m^{-3}+3)}{m^{-3}} \cdot \frac{1}{m^{-3}-3} = \frac{m^{-3}+3}{m^{-3}} \] 3. Теперь вычтем дроби с одинаковыми знаменателями: \[ \frac{m^{-3}-3}{m^{-3}} - \frac{m^{-3}+3}{m^{-3}} = \frac{m^{-3}-3 - (m^{-3}+3)}{m^{-3}} = \frac{m^{-3}-3-m^{-3}-3}{m^{-3}} = \frac{-6}{m^{-3}} \] 4. Используя свойство отрицательной степени \( \frac{1}{m^{-3}} = m^3 \): \[ -6m^3 \] Ответ: \( -6m^3 \)