Решение задачи: Упрощение дробей и график функции y = 8/x

Вариант 2 1. Представьте в виде дроби: а) \( \frac{5x}{8y} + \frac{x}{4y} \) Приведем дроби к общему знаменателю \( 8y \): \[ \frac{5x}{8y} + \frac{x \cdot 2}{4y \cdot 2} = \frac{5x}{8y} + \frac{2x}{8y} = \frac{5x + 2x}{8y} = \frac{7x}{8y} \] б) \( \frac{25}{2a^2} \cdot \frac{4a^3}{5b^2} \) Перемножим числители и знаменатели, затем сократим дробь: \[ \frac{25 \cdot 4a^3}{2a^2 \cdot 5b^2} = \frac{5 \cdot 2a}{1 \cdot b^2} = \frac{10a}{b^2} \] в) \( \frac{8c}{21a^2} : \frac{6c^2}{7a} \) Заменим деление умножением на обратную дробь: \[ \frac{8c}{21a^2} \cdot \frac{7a}{6c^2} = \frac{8c \cdot 7a}{21a^2 \cdot 6c^2} = \frac{4 \cdot 1}{3a \cdot 3c} = \frac{4}{9ac} \] 2. Постройте график функции \( y = \frac{8}{x} \). Какова область определения функции? Область определения: так как на ноль делить нельзя, то \( x \neq 0 \). \( D(y): x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Графиком является гипербола, расположенная в I и III четвертях. Таблица значений: x | -8 | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 | 8 y | -1 | -2 | -4 | -8 | 8 | 4 | 2 | 1 3. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: а) \( \frac{7}{\sqrt{5}} \) Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{5} \): \[ \frac{7 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{5} \] б) \( \frac{5}{\sqrt{3} + 1} \) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{3} - 1 \): \[ \frac{5(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{5(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{5(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{5(\sqrt{3} - 1)}{2} = 2,5(\sqrt{3} - 1) \] 4. Решите уравнение: а) \( x^2 = 0,64 \) \[ x = \pm \sqrt{0,64} \] \[ x_1 = 0,8; \quad x_2 = -0,8 \] б) \( 16x^2 - 49 = 0 \) \[ 16x^2 = 49 \] \[ x^2 = \frac{49}{16} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{49}{16}} \] \[ x_1 = 1,75; \quad x_2 = -1,75 \] в) \( 2x^2 - 3x = 0 \) Вынесем \( x \) за скобки: \[ x(2x - 3) = 0 \] \[ x_1 = 0 \] или \[ 2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x_2 = 1,5 \] г) \( x^2 - 12x + 35 = 0 \) Решим через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm 2}{2} \] \[ x_1 = \frac{14}{2} = 7; \quad x_2 = \frac{10}{2} = 5 \]