Решение задачи: Расчет стержня на растяжение-сжатие

Задача №11. Расчет стержня на растяжение-сжатие. Дано: \(l_1 = l_2 = l_3 = l_4 = 0,5 \text{ м}\) \(F_1 = 5 \text{ кН} = 5 \cdot 10^3 \text{ Н}\) \(F_2 = 10 \text{ кН} = 10 \cdot 10^3 \text{ Н}\) \(A_1 = 3 \text{ см}^2 = 3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\) \(A_2 = 6 \text{ см}^2 = 6 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\) \(E = 2 \cdot 10^5 \text{ МПа} = 2 \cdot 10^{11} \text{ Па}\) Решение: 1. Расчет продольных сил \(N\) по участкам (метод сечений). Идем снизу вверх. Участок 4 (от свободного конца до \(F_2\)): \[N_4 = 0 \text{ кН}\] Участок 3 (между \(F_2\) и \(F_1\)): \[N_3 = F_2 = 10 \text{ кН}\] Участок 2 (между \(F_1\) и изменением сечения): \[N_2 = F_2 - F_1 = 10 - 5 = 5 \text{ кН}\] Участок 1 (верхний тонкий участок): \[N_1 = N_2 = 5 \text{ кН}\] 2. Расчет нормальных напряжений \(\sigma = \frac{N}{A}\): Участок 4: \[\sigma_4 = 0 \text{ МПа}\] Участок 3: \[\sigma_3 = \frac{N_3}{A_2} = \frac{10 \cdot 10^3}{6 \cdot 10^{-4}} \approx 16,67 \cdot 10^6 \text{ Па} = 16,67 \text{ МПа}\] Участок 2: \[\sigma_2 = \frac{N_2}{A_2} = \frac{5 \cdot 10^3}{6 \cdot 10^{-4}} \approx 8,33 \cdot 10^6 \text{ Па} = 8,33 \text{ МПа}\] Участок 1: \[\sigma_1 = \frac{N_1}{A_1} = \frac{5 \cdot 10^3}{3 \cdot 10^{-4}} \approx 16,67 \cdot 10^6 \text{ Па} = 16,67 \text{ МПа}\] 3. Расчет перемещений \(\Delta\). Закрепление сверху, значит \(\Delta_0 = 0\). Перемещение в конце 1-го участка: \[\Delta_1 = \frac{N_1 \cdot l_1}{E \cdot A_1} = \frac{5 \cdot 10^3 \cdot 0,5}{2 \cdot 10^{11} \cdot 3 \cdot 10^{-4}} \approx 0,0417 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,0417 \text{ мм}\] Перемещение в конце 2-го участка: \[\Delta_2 = \Delta_1 + \frac{N_2 \cdot l_2}{E \cdot A_2} = 0,0417 + \frac{5 \cdot 10^3 \cdot 0,5}{2 \cdot 10^{11} \cdot 6 \cdot 10^{-4}} \cdot 10^3 \approx 0,0417 + 0,0208 = 0,0625 \text{ мм}\] Перемещение в конце 3-го участка: \[\Delta_3 = \Delta_2 + \frac{N_3 \cdot l_3}{E \cdot A_2} = 0,0625 + \frac{10 \cdot 10^3 \cdot 0,5}{2 \cdot 10^{11} \cdot 6 \cdot 10^{-4}} \cdot 10^3 \approx 0,0625 + 0,0417 = 0,1042 \text{ мм}\] Перемещение в конце 4-го участка (свободный край): \[\Delta_4 = \Delta_3 + 0 = 0,1042 \text{ мм}\] Для оформления в тетради: Начертите под исходной схемой три вертикальные оси. 1. Эпюра \(N\): отложите вправо значения 0; 10; 5; 5 (в кН). 2. Эпюра \(\sigma\): отложите вправо значения 0; 16,67; 8,33; 16,67 (в МПа). 3. Эпюра \(\Delta\): отложите вправо значения от 0 (вверху) до 0,1042 (внизу), соединяя точки прямыми линиями. На 4-м участке линия будет вертикальной.