Решение задачи по комплексным числам: тригонометрическая и показательная форма

Ниже представлено решение задач с листа бумаги в удобном для переписывания виде. Задание 1. Комплексные числа. Изобразить точками на координатной плоскости и записать в тригонометрической и показательной формах. Общие формулы: Тригонометрическая форма: \( z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) \) Показательная форма: \( z = r e^{i \varphi} \) Где \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \), \( \cos \varphi = \frac{x}{r} \), \( \sin \varphi = \frac{y}{r} \). 1) \( z_1 = 1 - i \) \( r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \) \( \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} \), \( \sin \varphi = -\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \varphi = -\frac{\pi}{4} \) Тригонометрическая: \( z_1 = \sqrt{2} (\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4})) \) Показательная: \( z_1 = \sqrt{2} e^{-i \frac{\pi}{4}} \) 2) \( z_2 = -3 + \sqrt{3}i \) \( r = \sqrt{(-3)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) \( \cos \varphi = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = \frac{5\pi}{6} \) Тригонометрическая: \( z_2 = 2\sqrt{3} (\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}) \) Показательная: \( z_2 = 2\sqrt{3} e^{i \frac{5\pi}{6}} \) 3) \( z_3 = -2i \) \( r = 2 \), \( \varphi = -\frac{\pi}{2} \) (точка лежит на отрицательной мнимой полуоси) Тригонометрическая: \( z_3 = 2 (\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2})) \) Показательная: \( z_3 = 2 e^{-i \frac{\pi}{2}} \) 4) \( z_4 = -5 \) \( r = 5 \), \( \varphi = \pi \) (точка лежит на отрицательной действительной полуоси) Тригонометрическая: \( z_4 = 5 (\cos \pi + i \sin \pi) \) Показательная: \( z_4 = 5 e^{i \pi} \) Для изображения на плоскости: отметьте точки по координатам \( (x, y) \): \( (1, -1) \), \( (-3, \sqrt{3}) \), \( (0, -2) \), \( (-5, 0) \). Задание 2. Найти \( (-1 - i)^{10} \). Используем формулу Муавра: \( z^n = r^n (\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)) \). Для \( z = -1 - i \): \( r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \) \( \varphi = -\frac{3\pi}{4} \) (3-я четверть) \[ (-1 - i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} (\cos(10 \cdot (-\frac{3\pi}{4})) + i \sin(10 \cdot (-\frac{3\pi}{4}))) \] \[ = 2^5 (\cos(-\frac{15\pi}{2}) + i \sin(-\frac{15\pi}{2})) \] Упростим угол: \( -\frac{15\pi}{2} = -7.5\pi = -8\pi + 0.5\pi \), что соответствует \( \frac{\pi}{2} \). \[ = 32 (\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) = 32 (0 + i \cdot 1) = 32i \] Ответ: \( 32i \). Задание 3. Найти \( Ln(2 + 2\sqrt{3}i) \). Формула: \( Ln(z) = \ln|z| + i(arg(z) + 2\pi k) \). Для \( z = 2 + 2\sqrt{3}i \): \( |z| = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4 \) \( \varphi = arg(z) = \text{arctg}(\frac{2\sqrt{3}}{2}) = \text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \) \[ Ln(2 + 2\sqrt{3}i) = \ln 4 + i(\frac{\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \] Задание 4. Является ли функция \( W = 2z^2 + 3z - i \bar{z} \) аналитической? Функция \( f(z) \) аналитична, если она зависит только от \( z \) и не зависит от \( \bar{z} \) (сопряженного числа). В данном выражении присутствует член \( -i \bar{z} \). Проверим условия Коши-Римана. Пусть \( z = x + iy \), тогда \( \bar{z} = x - iy \). \[ W = 2(x+iy)^2 + 3(x+iy) - i(x-iy) = 2(x^2 - y^2 + 2ixy) + 3x + 3iy - ix - y \] \[ W = (2x^2 - 2y^2 + 3x - y) + i(4xy + 3y - x) \] \( u = 2x^2 - 2y^2 + 3x - y \), \( v = 4xy + 3y - x \) Условия Коши-Римана: \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \) и \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \). 1) \( \frac{\partial u}{\partial x} = 4x + 3 \); \( \frac{\partial v}{\partial y} = 4x + 3 \) (выполняется) 2) \( \frac{\partial u}{\partial y} = -4y - 1 \); \( \frac{\partial v}{\partial x} = 4y - 1 \) Проверяем второе условие: \( -4y - 1 = -(4y - 1) \Rightarrow -4y - 1 = -4y + 1 \). Это равенство неверно (\( -1 \neq 1 \)). Ответ: Функция не является аналитической.