Решение задач 228-230 с подробным объяснением

Ниже представлено подробное решение упражнений 228, 229 и 230 из учебника. Решения оформлены так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Упражнение 228. Решить неравенство. При решении показательных неравенств важно помнить: если основание больше 1, знак неравенства сохраняется. Если основание от 0 до 1, знак неравенства меняется на противоположный. 1) \( 3^x > 9 \) Представим 9 как степень с основанием 3: \( 3^x > 3^2 \) Так как основание \( 3 > 1 \), то: \( x > 2 \) Ответ: \( x > 2 \). 2) \( (\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4} \) Представим \( \frac{1}{4} \) как \( (\frac{1}{2})^2 \): \( (\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^2 \) Так как основание \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \), знак меняется: \( x < 2 \) Ответ: \( x < 2 \). 3) \( (\frac{1}{4})^x < 2 \) Приведем к основанию 2. Заметим, что \( \frac{1}{4} = 2^{-2} \): \( (2^{-2})^x < 2^1 \) \( 2^{-2x} < 2^1 \) Так как \( 2 > 1 \): \( -2x < 1 \) Разделим на -2 (знак меняется): \( x > -0,5 \) Ответ: \( x > -0,5 \). 4) \( 4^x < \frac{1}{2} \) Приведем к основанию 2: \( (2^2)^x < 2^{-1} \) \( 2^{2x} < 2^{-1} \) \( 2x < -1 \) \( x < -0,5 \) Ответ: \( x < -0,5 \). 5) \( 2^{3x} > \frac{1}{2} \) \( 2^{3x} > 2^{-1} \) \( 3x > -1 \) \( x > -\frac{1}{3} \) Ответ: \( x > -\frac{1}{3} \). 6) \( (\frac{1}{3})^{x-1} \le \frac{1}{9} \) \( (\frac{1}{3})^{x-1} \le (\frac{1}{3})^2 \) Так как основание \( \frac{1}{3} < 1 \), знак меняется: \( x - 1 \ge 2 \) \( x \ge 3 \) Ответ: \( x \ge 3 \). Упражнение 229. Решить неравенство. 1) \( 5^{x-1} < \sqrt{5} \) Запишем корень как степень \( \frac{1}{2} \): \( 5^{x-1} < 5^{0,5} \) \( x - 1 < 0,5 \) \( x < 1,5 \) Ответ: \( x < 1,5 \). 2) \( 3^{\frac{x}{2}} > 9 \) \( 3^{\frac{x}{2}} > 3^2 \) \( \frac{x}{2} > 2 \) \( x > 4 \) Ответ: \( x > 4 \). 3) \( 3^{x^2-4} > 1 \) Любое число в нулевой степени равно 1, значит \( 1 = 3^0 \): \( 3^{x^2-4} > 3^0 \) \( x^2 - 4 > 0 \) Разложим по формуле разности квадратов: \( (x-2)(x+2) > 0 \) Решая методом интервалов, получаем: Ответ: \( x < -2 \) или \( x > 2 \). 4) \( 5^{x^2-18} < 1 \) \( 5^{x^2-18} < 5^0 \) \( x^2 - 18 < 0 \) \( x^2 < 18 \) \( |x| < \sqrt{18} \) \( |x| < 3\sqrt{2} \) Ответ: \( -3\sqrt{2} < x < 3\sqrt{2} \). Упражнение 230. Решить графически уравнение. Для решения нужно построить графики левой и правой частей уравнения и найти абсциссу (x) точки их пересечения. 1) \( (\frac{1}{3})^x = x + 1 \) Построим \( y = (\frac{1}{3})^x \) (убывающая показательная функция через точки (0;1), (-1;3)) и \( y = x + 1 \) (прямая через точки (0;1), (1;2)). Точка пересечения имеет координаты (0; 1). Ответ: \( x = 0 \). 2) \( (\frac{1}{2})^x = x - \frac{1}{2} \) Построим \( y = (\frac{1}{2})^x \) и \( y = x - 0,5 \). При \( x = 1 \): левая часть \( \frac{1}{2} \), правая часть \( 1 - 0,5 = 0,5 \). Точка пересечения (1; 0,5). Ответ: \( x = 1 \). 3) \( 2^x = -x - \frac{7}{4} \) Построим \( y = 2^x \) (возрастающая) и \( y = -x - 1,75 \) (убывающая прямая). Проверим \( x = -1 \): \( 2^{-1} = 0,5 \); \( -(-1) - 1,75 = -0,75 \) (не подходит). Проверим \( x = -2 \): \( 2^{-2} = 0,25 \); \( -(-2) - 1,75 = 2 - 1,75 = 0,25 \). Точка пересечения (-2; 0,25). Ответ: \( x = -2 \). 4) \( 3^x = 11 - x \) Построим \( y = 3^x \) и \( y = 11 - x \). При \( x = 2 \): \( 3^2 = 9 \); \( 11 - 2 = 9 \). Точка пересечения (2; 9). Ответ: \( x = 2 \).