Решение задачи: корни квадратного уравнения меньше 1

Задание: При каких значениях параметра \( a \) все корни уравнения \( x^2 - 4ax + 4a^2 - a - 10 = 0 \) меньше 1? Решение: 1. Рассмотрим данное уравнение как квадратичную функцию \( f(x) = x^2 - 4ax + 4a^2 - a - 10 \). Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при \( x^2 \) равен 1, что больше 0). 2. Чтобы оба корня квадратного уравнения были меньше 1, должны выполняться следующие условия: - Дискриминант \( D \ge 0 \) (чтобы корни существовали); - Координата вершины параболы \( x_0 < 1 \); - Значение функции в точке 1 должно быть положительным: \( f(1) > 0 \). 3. Найдем дискриминант уравнения: \[ D = (-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a^2 - a - 10) \] \[ D = 16a^2 - 16a^2 + 4a + 40 = 4a + 40 \] Условие \( D \ge 0 \): \[ 4a + 40 \ge 0 \implies 4a \ge -40 \implies a \ge -10 \] 4. Найдем координату вершины параболы: \[ x_0 = \frac{-b}{2a_{coeff}} = \frac{4a}{2} = 2a \] Условие \( x_0 < 1 \): \[ 2a < 1 \implies a < 0,5 \] 5. Вычислим \( f(1) \): \[ f(1) = 1^2 - 4a(1) + 4a^2 - a - 10 = 4a^2 - 5a - 9 \] Условие \( f(1) > 0 \): \[ 4a^2 - 5a - 9 > 0 \] Найдем корни уравнения \( 4a^2 - 5a - 9 = 0 \): \[ D_a = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169 = 13^2 \] \[ a_1 = \frac{5 + 13}{8} = \frac{18}{8} = 2,25 \] \[ a_2 = \frac{5 - 13}{8} = -1 \] Решением неравенства \( 4a^2 - 5a - 9 > 0 \) являются интервалы: \[ a < -1 \text{ или } a > 2,25 \] 6. Объединим все полученные условия в систему: \[ \begin{cases} a \ge -10 \\ a < 0,5 \\ a \in (-\infty; -1) \cup (2,25; +\infty) \end{cases} \] Пересечением этих промежутков является интервал: \[ -10 \le a < -1 \] Ответ: \( a \in [-10; -1) \)