Решение задачи: BC + OA в параллелограмме ABCD

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку. Вариант I Задача 1. ABCD — параллелограмм. O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Найдите \(\vec{BC} + \vec{OA}\). Варианты ответа: а) \(\vec{OC}\); б) \(\vec{BO}\); в) \(\vec{OB}\); г) \(\vec{CO}\). Дано: ABCD — параллелограмм. O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Найти: \(\vec{BC} + \vec{OA}\) Решение: 1. Нарисуем параллелограмм ABCD и его диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке O. (Рисунок: Параллелограмм ABCD. Вершины A, B, C, D расположены против часовой стрелки. Диагонали AC и BD проведены и пересекаются в точке O.) 2. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому \(\vec{AD} = \vec{BC}\). 3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что O — середина AC и O — середина BD. 4. Из того, что O — середина AC, следует, что \(\vec{OA} = \vec{CO}\) (векторы равны по длине и направлены в одну сторону, если смотреть от C к O и от O к A, но нам нужен вектор \(\vec{OA}\)). Также, \(\vec{AO} = \vec{OC}\). Вектор \(\vec{OA}\) противоположен вектору \(\vec{OC}\), то есть \(\vec{OA} = -\vec{OC}\). Вектор \(\vec{OA}\) равен вектору \(\vec{CO}\) (по длине и направлению). Значит, \(\vec{OA} = \vec{CO}\). 5. Теперь подставим \(\vec{CO}\) вместо \(\vec{OA}\) в искомое выражение: \(\vec{BC} + \vec{OA} = \vec{BC} + \vec{CO}\). 6. По правилу сложения векторов (правило треугольника), если конец первого вектора совпадает с началом второго, то сумма этих векторов — это вектор, идущий от начала первого вектора к концу второго. В данном случае, конец вектора \(\vec{BC}\) — это точка C, а начало вектора \(\vec{CO}\) — это точка C. Значит, \(\vec{BC} + \vec{CO} = \vec{BO}\). 7. Сравниваем полученный результат с вариантами ответа: а) \(\vec{OC}\) б) \(\vec{BO}\) в) \(\vec{OB}\) г) \(\vec{CO}\) Наш результат \(\vec{BO}\) совпадает с вариантом б). Ответ: б) \(\vec{BO}\). Задача 2. PE — медиана треугольника MPK. Найдите \(\vec{EK} - \vec{MP}\). Варианты ответа: а) \(\vec{PK}\); б) \(\vec{PE}\); в) \(\vec{EP}\); г) \(\vec{KP}\). Дано: PE — медиана треугольника MPK. Найти: \(\vec{EK} - \vec{MP}\) Решение: 1. Нарисуем треугольник MPK. Проведем медиану PE из вершины P к стороне MK. (Рисунок: Треугольник MPK. Точка E лежит на стороне MK так, что ME = EK. Отрезок PE — медиана.) 2. По определению медианы, точка E делит сторону MK пополам. Значит, \(\vec{ME} = \vec{EK}\). 3. Выражение, которое нужно найти: \(\vec{EK} - \vec{MP}\). 4. Мы знаем, что вычитание векторов можно заменить сложением с противоположным вектором: \(\vec{EK} - \vec{MP} = \vec{EK} + (-\vec{MP})\). 5. Вектор \(-\vec{MP}\) — это вектор \(\vec{PM}\). Значит, \(\vec{EK} - \vec{MP} = \vec{EK} + \vec{PM}\). 6. Теперь нам нужно сложить векторы \(\vec{EK}\) и \(\vec{PM}\). По правилу треугольника, чтобы сложить два вектора, нужно, чтобы конец первого вектора совпадал с началом второго. В данном случае это не так. Однако, мы можем использовать правило параллелограмма или перенести векторы. Рассмотрим треугольник MPK. Вектор \(\vec{EK}\) — это половина вектора \(\vec{MK}\). Вектор \(\vec{PM}\) — это сторона треугольника. 7. Давайте попробуем выразить векторы через медиану. Из треугольника PEK: \(\vec{PK} = \vec{PE} + \vec{EK}\). Отсюда \(\vec{EK} = \vec{PK} - \vec{PE}\). Из треугольника PEM: \(\vec{PM} = \vec{PE} + \vec{EM}\). Так как E — середина MK, то \(\vec{EM} = -\vec{EK}\). Значит, \(\vec{PM} = \vec{PE} - \vec{EK}\). 8. Подставим эти выражения в искомое: \(\vec{EK} - \vec{MP} = \vec{EK} - (-\vec{PM})\). Мы знаем, что \(\vec{MP} = \vec{ME} + \vec{EP}\) (из треугольника MPE). Или \(\vec{MP} = \vec{MK} + \vec{KP}\). Это не очень удобно. 9. Давайте используем свойство медианы. Вектор медианы \(\vec{PE}\) можно выразить через векторы сторон: \(\vec{PE} = \frac{1}{2}(\vec{PM} + \vec{PK})\) (это не совсем так, это для вектора из вершины к середине противоположной стороны, но не для вектора от середины к вершине). Правильная формула для медианы из вершины P к середине E стороны MK: \(\vec{PE} = \frac{1}{2}(\vec{PM} + \vec{PK})\) — это неверно. Правильно: \(\vec{PE} = \vec{PM} + \vec{ME}\) и \(\vec{PE} = \vec{PK} + \vec{KE}\). Так как \(\vec{ME} = -\vec{KE}\), то \(\vec{PM} + \vec{ME} = \vec{PK} + \vec{KE}\). \(\vec{PM} - \vec{KE} = \vec{PK} + \vec{KE}\). \(\vec{PM} - \vec{PK} = 2\vec{KE}\). \(\vec{MP} - \vec{KP} = 2\vec{EK}\). \(\vec{MP} - \vec{KP} = 2\vec{EK}\). 10. Вернемся к выражению \(\vec{EK} - \vec{MP}\). Мы знаем, что \(\vec{EK} = \vec{PK} - \vec{PE}\) (из треугольника PEK). И \(\vec{MP} = \vec{ME} + \vec{EP}\). Так как \(\vec{ME} = \vec{EK}\), то \(\vec{MP} = \vec{EK} + \vec{EP}\). Теперь подставим это в искомое выражение: \(\vec{EK} - \vec{MP} = \vec{EK} - (\vec{EK} + \vec{EP})\) \(\vec{EK} - \vec{MP} = \vec{EK} - \vec{EK} - \vec{EP}\) \(\vec{EK} - \vec{MP} = -\vec{EP}\) 11. Вектор \(-\vec{EP}\) — это вектор \(\vec{PE}\). 12. Сравниваем полученный результат с вариантами ответа: а) \(\vec{PK}\) б) \(\vec{PE}\) в) \(\vec{EP}\) г) \(\vec{KP}\) Наш результат \(\vec{PE}\) совпадает с вариантом б). Ответ: б) \(\vec{PE}\). Задача 3. A(-3; 2), B(-1; 1). Найдите \(|\vec{AB}|\). Варианты ответа: а) 5; б) 3; в) \(\sqrt{17}\); г) \(\sqrt{5}\). Дано: Точка A с координатами \((-3; 2)\). Точка B с координатами \((-1; 1)\). Найти: Длину вектора \(\vec{AB}\), то есть \(|\vec{AB}|\). Решение: 1. Чтобы найти координаты вектора \(\vec{AB}\), нужно из координат конца вектора (точки B) вычесть соответствующие координаты начала вектора (точки A). Пусть \(A = (x_A; y_A)\) и \(B = (x_B; y_B)\). Тогда \(\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)\). 2. Подставим данные координаты: \(x_A = -3\), \(y_A = 2\) \(x_B = -1\), \(y_B = 1\) \(\vec{AB} = (-1 - (-3); 1 - 2)\) \(\vec{AB} = (-1 + 3; -1)\) \(\vec{AB} = (2; -1)\) 3. Длина вектора (модуль вектора) с координатами \((x; y)\) вычисляется по формуле: \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\). 4. Подставим координаты вектора \(\vec{AB} = (2; -1)\) в формулу: \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2}\) \(|\vec{AB}| = \sqrt{4 + 1}\) \(|\vec{AB}| = \sqrt{5}\) 5. Сравниваем полученный результат с вариантами ответа: а) 5 б) 3 в) \(\sqrt{17}\) г) \(\sqrt{5}\) Наш результат \(\sqrt{5}\) совпадает с вариантом г). Ответ: г) \(\sqrt{5}\).