Решение интеграла ∫(32-7x)/(x²-6x+8) dx

Хорошо, давайте решим задачу номер 4. Задача 4: Вычислить интеграл \[ \int \frac{32 - 7x}{x^2 - 6x + 8} dx \] Решение: Сначала разложим знаменатель на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 6x + 8 = 0\). Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\). Корни: \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2\) \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\) Значит, \(x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)\). Теперь разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби: \[ \frac{32 - 7x}{(x - 2)(x - 4)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 4} \] Приведем правую часть к общему знаменателю: \[ \frac{A(x - 4) + B(x - 2)}{(x - 2)(x - 4)} \] Приравниваем числители: \[ 32 - 7x = A(x - 4) + B(x - 2) \] Чтобы найти \(A\) и \(B\), подставим значения \(x\), равные корням знаменателя. При \(x = 2\): \(32 - 7 \cdot 2 = A(2 - 4) + B(2 - 2)\) \(32 - 14 = A(-2) + B \cdot 0\) \(18 = -2A\) \(A = \frac{18}{-2} = -9\) При \(x = 4\): \(32 - 7 \cdot 4 = A(4 - 4) + B(4 - 2)\) \(32 - 28 = A \cdot 0 + B \cdot 2\) \(4 = 2B\) \(B = \frac{4}{2} = 2\) Теперь подставим найденные значения \(A\) и \(B\) обратно в разложение: \[ \frac{32 - 7x}{(x - 2)(x - 4)} = \frac{-9}{x - 2} + \frac{2}{x - 4} \] Теперь можно вычислить интеграл: \[ \int \left( \frac{-9}{x - 2} + \frac{2}{x - 4} \right) dx \] Разделим интеграл на два: \[ \int \frac{-9}{x - 2} dx + \int \frac{2}{x - 4} dx \] Вынесем константы за знак интеграла: \[ -9 \int \frac{1}{x - 2} dx + 2 \int \frac{1}{x - 4} dx \] Используем формулу \(\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C\): \[ -9 \ln|x - 2| + 2 \ln|x - 4| + C \] Ответ: \[ \int \frac{32 - 7x}{x^2 - 6x + 8} dx = -9 \ln|x - 2| + 2 \ln|x - 4| + C \]