Решение задачи №5 с рисунком

Задача №5 Дано: \( \triangle ABC \), плоскость \( \alpha \parallel AB \), \( \alpha \cap AC = M \), \( \alpha \cap BC = N \), \( AB = 8 \), \( NC : BC = 3 : 2 \). Найти: \( MN \). Решение: 1. Рассмотрим плоскость треугольника \( ABC \). Так как плоскость \( \alpha \) параллельна прямой \( AB \) и пересекает плоскость \( ABC \) по прямой \( MN \), то по свойству параллельности прямой и плоскости линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Следовательно, \( MN \parallel AB \). 2. Так как \( MN \parallel AB \), то \( \triangle MNC \sim \triangle ABC \) по двум углам (угол \( C \) — общий, \( \angle CMN = \angle CAB \) как соответствующие при параллельных прямых). 3. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \[ \frac{MN}{AB} = \frac{NC}{BC} \] 4. По условию задачи дано отношение \( NC : BC = 3 : 2 \). Однако, в геометрии запись \( NC : BC = 3 : 2 \) обычно означает отношение отрезков, где \( BC \) является частью или целым. Если \( BC \) — это вся сторона, то отношение уже дано. Подставим значения в формулу: \[ \frac{MN}{8} = \frac{3}{2} \] 5. Выразим \( MN \): \[ MN = \frac{8 \cdot 3}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] Примечание: Если в условии опечатка и имелось в виду отношение частей стороны \( NC : NB = 3 : 2 \), то \( BC = NC + NB = 3x + 2x = 5x \). Тогда \( \frac{NC}{BC} = \frac{3}{5} \), и \( MN = \frac{8 \cdot 3}{5} = 4,8 \). Но исходя из текста "NC : BC = 3 : 2", используем первый вариант. Ответ: \( MN = 12 \).