Решение задачи по геометрии: Прямоугольник и точка вне плоскости

Задача №3 Дано: \( ABCD \) — прямоугольник, \( S \) — точка вне плоскости, \( SA = SB = SC = SD \), \( SO \perp (ABC) \), \( SO = 8 \) см, \( AB = 8 \) см (меньшая сторона), \( \angle CAD = 30^\circ \) (угол между диагональю и большей стороной). Найти: \( SA \) (расстояние от точки до вершин). Решение: 1. Так как точка \( S \) равноудалена от всех вершин прямоугольника, её проекция на плоскость прямоугольника (точка \( O \)) является центром описанной около прямоугольника окружности. В прямоугольнике центр описанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей. Таким образом, \( O \) — точка пересечения \( AC \) и \( BD \), а \( AO = OC = BO = OD = R \). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ADC \) (где \( \angle D = 90^\circ \)). По условию \( AB = 8 \) см, значит \( CD = 8 \) см (противоположные стороны). Угол \( \angle CAD = 30^\circ \). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^\circ \), равен половине гипотенузы. Следовательно, \( CD = \frac{1}{2} AC \). Отсюда \( AC = 2 \cdot CD = 2 \cdot 8 = 16 \) см. 3. Найдем половину диагонали: \[ AO = \frac{1}{2} AC = \frac{16}{2} = 8 \text{ см} \] 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( SOA \) (где \( \angle SOA = 90^\circ \), так как \( SO \) — перпендикуляр к плоскости). По теореме Пифагора: \[ SA^2 = SO^2 + AO^2 \] \[ SA^2 = 8^2 + 8^2 \] \[ SA^2 = 64 + 64 = 128 \] \[ SA = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2} \text{ см} \] Ответ: \( 8\sqrt{2} \) см.