Решение примера с комплексными числами: (1-i)/(4+2i) - (2+3i)/(4-5i)

Задание №1 (вариант 7) Условие: Выполните действия над комплексными числами и запишите результат в тригонометрической и показательной формах. \[ \frac{1 - i}{4 + 2i} - \frac{2 + 3i}{4 - 5i} \] Решение: 1. Вычислим первую дробь, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число \( 4 - 2i \): \[ \frac{1 - i}{4 + 2i} = \frac{(1 - i)(4 - 2i)}{(4 + 2i)(4 - 2i)} = \frac{4 - 2i - 4i + 2i^2}{4^2 + 2^2} \] Так как \( i^2 = -1 \): \[ \frac{4 - 6i - 2}{16 + 4} = \frac{2 - 6i}{20} = \frac{1}{10} - \frac{3}{10}i = 0,1 - 0,3i \] 2. Вычислим вторую дробь, умножив числитель и знаменатель на \( 4 + 5i \): \[ \frac{2 + 3i}{4 - 5i} = \frac{(2 + 3i)(4 + 5i)}{(4 - 5i)(4 + 5i)} = \frac{8 + 10i + 12i + 15i^2}{4^2 + 5^2} \] \[ \frac{8 + 22i - 15}{16 + 25} = \frac{-7 + 22i}{41} = -\frac{7}{41} + \frac{22}{41}i \approx -0,17 + 0,54i \] 3. Найдем разность полученных чисел: \[ z = (0,1 - 0,3i) - \left( -\frac{7}{41} + \frac{22}{41}i \right) = \left( \frac{1}{10} + \frac{7}{41} \right) - i \left( \frac{3}{10} + \frac{22}{41} \right) \] Приведем к общему знаменателю 410: \[ z = \frac{41 + 70}{410} - i \frac{123 + 220}{410} = \frac{111}{410} - \frac{343}{410}i \] В десятичном виде (приблизительно): \[ z \approx 0,27 - 0,84i \] 4. Представим результат в тригонометрической и показательной формах. Найдем модуль числа \( z \): \[ |z| = r = \sqrt{\left(\frac{111}{410}\right)^2 + \left(-\frac{343}{410}\right)^2} = \frac{\sqrt{12321 + 117649}}{410} = \frac{\sqrt{129970}}{410} \approx 0,88 \] Найдем аргумент \( \varphi \). Так как \( x > 0, y < 0 \), число находится в IV четверти: \[ \varphi = \text{arctg}\left( \frac{y}{x} \right) = \text{arctg}\left( \frac{-343}{111} \right) \approx -1,26 \text{ рад} \] Тригонометрическая форма: \[ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) = 0,88(\cos(-1,26) + i \sin(-1,26)) \] Показательная форма: \[ z = r e^{i\varphi} = 0,88 e^{-1,26i} \] Ответ: Алгебраическая форма: \( z = \frac{111}{410} - \frac{343}{410}i \) Тригонометрическая форма: \( z \approx 0,88(\cos(-1,26) + i \sin(-1,26)) \) Показательная форма: \( z \approx 0,88 e^{-1,26i} \)