Решение интеграла ∫√(1+ln x)/x dx

Задание №2. Вариант 7. Найти неопределённый интеграл. Результаты проверить дифференцированием. а) Найти интеграл \( \int \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x} dx \) Решение: Применим метод введения под знак дифференциала. Заметим, что \( \frac{1}{x} dx = d(\ln x) \). Пусть \( u = 1 + \ln x \), тогда \( du = d(1 + \ln x) = \frac{1}{x} dx \). Подставим в интеграл: \[ \int \sqrt{1 + \ln x} \cdot \frac{1}{x} dx = \int \sqrt{u} du = \int u^{1/2} du \] Используем табличную формулу \( \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \): \[ \frac{u^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} \sqrt{u^3} + C \] Возвращаемся к переменной \( x \): \[ \frac{2}{3} \sqrt{(1 + \ln x)^3} + C \] Проверка: \[ \left( \frac{2}{3} (1 + \ln x)^{3/2} + C \right)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} (1 + \ln x)^{1/2} \cdot (1 + \ln x)' = \sqrt{1 + \ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x} \] Результат совпал с подвыражением под интегралом. б) Найти интеграл \( \int \sqrt{2 - 3 \cos 5x} \sin 5x dx \) Решение: Используем замену переменной. Пусть \( u = 2 - 3 \cos 5x \). Тогда \( du = (2 - 3 \cos 5x)' dx = -3 \cdot (-\sin 5x) \cdot 5 dx = 15 \sin 5x dx \). Отсюда \( \sin 5x dx = \frac{1}{15} du \). Подставляем: \[ \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{15} du = \frac{1}{15} \int u^{1/2} du = \frac{1}{15} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{15} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{2}{45} \sqrt{u^3} + C \] Возвращаемся к \( x \): \[ \frac{2}{45} \sqrt{(2 - 3 \cos 5x)^3} + C \] Проверка: \[ \left( \frac{2}{45} (2 - 3 \cos 5x)^{3/2} \right)' = \frac{2}{45} \cdot \frac{3}{2} (2 - 3 \cos 5x)^{1/2} \cdot (2 - 3 \cos 5x)' = \frac{1}{15} \sqrt{2 - 3 \cos 5x} \cdot 15 \sin 5x = \sqrt{2 - 3 \cos 5x} \sin 5x \] Верно. в) Найти интеграл \( \int x \text{arctg } 2x dx \) Решение: Применим метод интегрирования по частям: \( \int u dv = uv - \int v du \). Пусть \( u = \text{arctg } 2x \), тогда \( du = \frac{2}{1 + (2x)^2} dx = \frac{2}{1 + 4x^2} dx \). Пусть \( dv = x dx \), тогда \( v = \frac{x^2}{2} \). \[ \int x \text{arctg } 2x dx = \frac{x^2}{2} \text{arctg } 2x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{2}{1 + 4x^2} dx = \frac{x^2}{2} \text{arctg } 2x - \int \frac{x^2}{1 + 4x^2} dx \] Преобразуем дробь в интеграле: \[ \frac{x^2}{1 + 4x^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4x^2 + 1 - 1}{4x^2 + 1} = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{1 + 4x^2} \right) \] \[ \int \frac{x^2}{1 + 4x^2} dx = \frac{1}{4} \int dx - \frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + (2x)^2} dx = \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \text{arctg } 2x = \frac{x}{4} - \frac{1}{8} \text{arctg } 2x \] Итого: \[ \frac{x^2}{2} \text{arctg } 2x - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \text{arctg } 2x + C = \left( \frac{x^2}{2} + \frac{1}{8} \right) \text{arctg } 2x - \frac{x}{4} + C \] Проверка: \[ \left( \frac{4x^2+1}{8} \text{arctg } 2x - \frac{x}{4} \right)' = x \text{arctg } 2x + \frac{4x^2+1}{8} \cdot \frac{2}{1+4x^2} - \frac{1}{4} = x \text{arctg } 2x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = x \text{arctg } 2x \] Верно. г) Найти интеграл \( \int \frac{x^3 + 4}{x^2 - 4x + 3} dx \) Решение: Дробь неправильная, выделим целую часть делением столбиком: \( x^3 + 4 = (x^2 - 4x + 3)(x + 4) + (13x - 8) \). \[ \int \frac{x^3 + 4}{x^2 - 4x + 3} dx = \int (x + 4) dx + \int \frac{13x - 8}{x^2 - 4x + 3} dx \] Разложим знаменатель: \( x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) \). Разложим дробь на простейшие: \[ \frac{13x - 8}{(x-1)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-3} \] \( 13x - 8 = A(x-3) + B(x-1) \) При \( x=1 \): \( 5 = -2A \Rightarrow A = -2.5 \) При \( x=3 \): \( 31 = 2B \Rightarrow B = 15.5 \) Интегрируем: \[ \frac{x^2}{2} + 4x - 2.5 \ln|x-1| + 15.5 \ln|x-3| + C \] Проверка: \[ \left( \frac{x^2}{2} + 4x - 2.5 \ln|x-1| + 15.5 \ln|x-3| \right)' = x + 4 - \frac{2.5}{x-1} + \frac{15.5}{x-3} = \frac{(x+4)(x^2-4x+3) - 2.5(x-3) + 15.5(x-1)}{x^2-4x+3} = \frac{x^3-4x^2+3x+4x^2-16x+12 - 2.5x + 7.5 + 15.5x - 15.5}{x^2-4x+3} = \frac{x^3+4}{x^2-4x+3} \] Верно.