Решение задачи: Площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

Задание №4 (Вариант 7) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = -x^2 - 6x - 5 \) и прямой \( y = x + 1 \). Решение: 1. Найдем точки пересечения графиков функций. Для этого приравняем правые части уравнений: \[ -x^2 - 6x - 5 = x + 1 \] Перенесем все слагаемые в одну сторону: \[ -x^2 - 6x - 5 - x - 1 = 0 \] \[ -x^2 - 7x - 6 = 0 \] Умножим на \(-1\): \[ x^2 + 7x + 6 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 \] \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 5}{2} \] \[ x_1 = \frac{-7 - 5}{2} = -6 \] \[ x_2 = \frac{-7 + 5}{2} = -1 \] Пределы интегрирования: \( a = -6 \), \( b = -1 \). 2. Определим, какая функция находится выше на интервале \((-6; -1)\). Возьмем пробную точку \( x = -2 \): Для параболы: \( y = -(-2)^2 - 6(-2) - 5 = -4 + 12 - 5 = 3 \) Для прямой: \( y = -2 + 1 = -1 \) Так как \( 3 > -1 \), парабола \( f(x) = -x^2 - 6x - 5 \) находится выше прямой \( g(x) = x + 1 \). 3. Вычислим площадь \( S \) по формуле: \[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \] \[ S = \int_{-6}^{-1} (-x^2 - 6x - 5 - (x + 1)) dx \] \[ S = \int_{-6}^{-1} (-x^2 - 7x - 6) dx \] Применим формулу Ньютона-Лейбница: \[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} - 6x \right]_{-6}^{-1} \] Подставим верхний предел \( x = -1 \): \[ F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} - \frac{7(-1)^2}{2} - 6(-1) = \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6 = \frac{2 - 21 + 36}{6} = \frac{17}{6} \] Подставим нижний предел \( x = -6 \): \[ F(-6) = -\frac{(-6)^3}{3} - \frac{7(-6)^2}{2} - 6(-6) = \frac{216}{3} - \frac{7 \cdot 36}{2} + 36 = 72 - 126 + 36 = -18 \] Находим разность: \[ S = F(-1) - F(-6) = \frac{17}{6} - (-18) = \frac{17}{6} + 18 = 2\frac{5}{6} + 18 = 20\frac{5}{6} \] Ответ: Площадь фигуры равна \( 20\frac{5}{6} \) кв. ед. Чертеж (описание для тетради): 1. Постройте параболу \( y = -x^2 - 6x - 5 \). Вершина в точке \( x_v = -b/2a = 6/(-2) = -3 \), \( y_v = 4 \). Ветви направлены вниз. 2. Постройте прямую \( y = x + 1 \) через точки \((-1; 0)\) и \((0; 1)\). 3. Заштрихуйте область между ними от \( x = -6 \) до \( x = -1 \).