Решение Дифференциального Уравнения (Пример 7): y' = (4 - 3y)^2 x, y(0) = 1

Задание №5. Решение дифференциального уравнения (вариант 7). Условие: Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию: \[ y' = (4 - 3y)^2 x, \quad y(0) = 1 \] Решение: 1. Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Запишем производную \( y' \) как \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = (4 - 3y)^2 x \] 2. Разделим переменные, перенеся все слагаемые с \( y \) в левую часть, а с \( x \) — в правую: \[ \frac{dy}{(4 - 3y)^2} = x \, dx \] 3. Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{dy}{(4 - 3y)^2} = \int x \, dx \] Для вычисления левого интеграла воспользуемся заменой переменной или правилом интегрирования линейной функции: \[ \int (4 - 3y)^{-2} \, dy = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(4 - 3y)^{-1}}{-1} = \frac{1}{3(4 - 3y)} \] Правый интеграл: \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \] Получаем общее решение в неявном виде: \[ \frac{1}{3(4 - 3y)} = \frac{x^2}{2} + C \] 4. Используем начальное условие \( y(0) = 1 \), чтобы найти значение константы \( C \). Подставим \( x = 0 \) и \( y = 1 \): \[ \frac{1}{3(4 - 3 \cdot 1)} = \frac{0^2}{2} + C \] \[ \frac{1}{3(1)} = 0 + C \] \[ C = \frac{1}{3} \] 5. Подставим найденное значение \( C \) в уравнение: \[ \frac{1}{3(4 - 3y)} = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{3} \] 6. Выразим \( y \) (частное решение). Сначала приведем правую часть к общему знаменателю: \[ \frac{1}{3(4 - 3y)} = \frac{3x^2 + 2}{6} \] Разделим обе части на 3 (или умножим на 3): \[ \frac{1}{4 - 3y} = \frac{3x^2 + 2}{2} \] Перевернем дроби: \[ 4 - 3y = \frac{2}{3x^2 + 2} \] Выразим \( 3y \): \[ 3y = 4 - \frac{2}{3x^2 + 2} \] \[ 3y = \frac{4(3x^2 + 2) - 2}{3x^2 + 2} = \frac{12x^2 + 8 - 2}{3x^2 + 2} = \frac{12x^2 + 6}{3x^2 + 2} \] Разделим на 3: \[ y = \frac{4x^2 + 2}{3x^2 + 2} \] Ответ: \[ y = \frac{4x^2 + 2}{3x^2 + 2} \]