Решение интеграла ∫e^(√x)/√x dx: Пример №7

Задание №3. Вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Пример №7: \[ \int_{1}^{4} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx \] Решение: Для решения данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. 1. Введем новую переменную: Пусть \( t = \sqrt{x} \). 2. Найдем дифференциал \( dt \): Производная функции \( \sqrt{x} \) равна \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \), следовательно: \[ dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \] Отсюда выразим часть выражения, стоящую под интегралом: \[ \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 dt \] 3. Изменим пределы интегрирования: Если \( x = 1 \), то \( t = \sqrt{1} = 1 \). Если \( x = 4 \), то \( t = \sqrt{4} = 2 \). 4. Подставим новые значения в интеграл: \[ \int_{1}^{4} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx = \int_{1}^{2} e^{t} \cdot 2 dt = 2 \int_{1}^{2} e^{t} dt \] 5. Применим формулу Ньютона-Лейбница: Так как первообразная для \( e^{t} \) есть \( e^{t} \), получаем: \[ 2 \int_{1}^{2} e^{t} dt = 2 \cdot [e^{t}] \Big|_{1}^{2} = 2(e^{2} - e^{1}) = 2(e^{2} - e) \] Ответ: \( 2(e^{2} - e) \) или \( 2e(e - 1) \).