Решение задачи: нагрев железного котла с водой

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1) В железный котёл массой 5 кг налита вода массой 10 кг. Какое количество теплоты нужно передать котлу с водой для изменения их температуры от 10 до 100 °C? Дано: Масса котла: \(m_к = 5\) кг Масса воды: \(m_в = 10\) кг Начальная температура: \(t_1 = 10\) °C Конечная температура: \(t_2 = 100\) °C Удельная теплоёмкость железа: \(c_к = 460\) Дж/(кг·°C) Удельная теплоёмкость воды: \(c_в = 4200\) Дж/(кг·°C) Найти: Количество теплоты: \(Q\) СИ: Все величины даны в единицах СИ. Решение: Количество теплоты, необходимое для нагревания тела, определяется по формуле: \(Q = c \cdot m \cdot \Delta t\), где \(\Delta t = t_2 - t_1\). Сначала найдем изменение температуры: \(\Delta t = 100\) °C \(-\ 10\) °C \(=\ 90\) °C Количество теплоты, необходимое для нагревания котла: \(Q_к = c_к \cdot m_к \cdot \Delta t\) \(Q_к = 460\) Дж/(кг·°C) \(\cdot 5\) кг \(\cdot 90\) °C \(Q_к = 207000\) Дж Количество теплоты, необходимое для нагревания воды: \(Q_в = c_в \cdot m_в \cdot \Delta t\) \(Q_в = 4200\) Дж/(кг·°C) \(\cdot 10\) кг \(\cdot 90\) °C \(Q_в = 3780000\) Дж Общее количество теплоты, которое нужно передать котлу с водой: \(Q = Q_к + Q_в\) \(Q = 207000\) Дж \(+\ 3780000\) Дж \(Q = 3987000\) Дж Ответ: Нужно передать 3987000 Дж теплоты. 2) Смешали воду массой 0,8 кг, имеющую температуру 25 °C, и воду при температуре 100 °C массой 0,2 кг. Температуру полученной смеси измерили, и она оказалась равной 40 °C. Вычислите, какое количество теплоты отдала горячая вода при остывании и получила холодная вода при нагревании. Сравните эти количества теплоты. Дано: Масса холодной воды: \(m_х = 0,8\) кг Начальная температура холодной воды: \(t_{1х} = 25\) °C Масса горячей воды: \(m_г = 0,2\) кг Начальная температура горячей воды: \(t_{1г} = 100\) °C Конечная температура смеси: \(t_с = 40\) °C Удельная теплоёмкость воды: \(c = 4200\) Дж/(кг·°C) Найти: Количество теплоты, отданное горячей водой: \(Q_г\) Количество теплоты, полученное холодной водой: \(Q_х\) Сравнить \(Q_г\) и \(Q_х\) СИ: Все величины даны в единицах СИ. Решение: Количество теплоты, отданное горячей водой: \(Q_г = c \cdot m_г \cdot (t_{1г} - t_с)\) \(Q_г = 4200\) Дж/(кг·°C) \(\cdot 0,2\) кг \(\cdot (100\) °C \(-\ 40\) °C) \(Q_г = 4200\) Дж/(кг·°C) \(\cdot 0,2\) кг \(\cdot 60\) °C \(Q_г = 50400\) Дж Количество теплоты, полученное холодной водой: \(Q_х = c \cdot m_х \cdot (t_с - t_{1х})\) \(Q_х = 4200\) Дж/(кг·°C) \(\cdot 0,8\) кг \(\cdot (40\) °C \(-\ 25\) °C) \(Q_х = 4200\) Дж/(кг·°C) \(\cdot 0,8\) кг \(\cdot 15\) °C \(Q_х = 50400\) Дж Сравнение: \(Q_г = 50400\) Дж \(Q_х = 50400\) Дж Количества теплоты равны. Это подтверждает закон сохранения энергии: количество теплоты, отданное одним телом, равно количеству теплоты, полученному другим телом, при отсутствии потерь. Ответ: Горячая вода отдала 50400 Дж теплоты. Холодная вода получила 50400 Дж теплоты. Эти количества теплоты равны. 3) Стальная деталь массой 3 кг нагрелась от 25 до 45 °C. Какое количество теплоты было израсходовано? Дано: Масса детали: \(m = 3\) кг Начальная температура: \(t_1 = 25\) °C Конечная температура: \(t_2 = 45\) °C Удельная теплоёмкость стали: \(c = 500\) Дж/(кг·°C) Найти: Количество теплоты: \(Q\) СИ: Все величины даны в единицах СИ. Решение: Изменение температуры: \(\Delta t = t_2 - t_1 = 45\) °C \(-\ 25\) °C \(=\ 20\) °C Количество теплоты, израсходованное на нагревание детали: \(Q = c \cdot m \cdot \Delta t\) \(Q = 500\) Дж/(кг·°C) \(\cdot 3\) кг \(\cdot 20\) °C \(Q = 30000\) Дж Ответ: Было израсходовано 30000 Дж теплоты. 4) На сколько градусов изменилась температура чугунной детали массой 12 кг, если при остывании она отдала 648000 Дж теплоты? Дано: Масса детали: \(m = 12\) кг Количество отданной теплоты: \(Q = 648000\) Дж Удельная теплоёмкость чугуна: \(c = 540\) Дж/(кг·°C) Найти: Изменение температуры: \(\Delta t\) СИ: Все величины даны в единицах СИ. Решение: Формула для количества теплоты: \(Q = c \cdot m \cdot \Delta t\) Выразим из этой формулы изменение температуры: \(\Delta t = \frac{Q}{c \cdot m}\) \(\Delta t = \frac{648000 \text{ Дж}}{540 \text{ Дж/(кг·°C)} \cdot 12 \text{ кг}}\) \(\Delta t = \frac{648000}{6480}\) °C \(\Delta t = 100\) °C Ответ: Температура чугунной детали изменилась на 100 °C. 5) Для нагревания медного бруска массой 3 кг от 20 до 30 °C потребовалось 12000 Дж теплоты. Какова удельная теплоёмкость меди? Дано: Масса бруска: \(m = 3\) кг Начальная температура: \(t_1 = 20\) °C Конечная температура: \(t_2 = 30\) °C Количество теплоты: \(Q = 12000\) Дж Найти: Удельная теплоёмкость меди: \(c\) СИ: Все величины даны в единицах СИ. Решение: Изменение температуры: \(\Delta t = t_2 - t_1 = 30\) °C \(-\ 20\) °C \(=\ 10\) °C Формула для количества теплоты: \(Q = c \cdot m \cdot \Delta t\) Выразим из этой формулы удельную теплоёмкость: \(c = \frac{Q}{m \cdot \Delta t}\) \(c = \frac{12000 \text{ Дж}}{3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ °C}}\) \(c = \frac{12000}{30}\) Дж/(кг·°C) \(c = 400\) Дж/(кг·°C) Ответ: Удельная теплоёмкость меди равна 400 Дж/(кг·°C). 6) По графику определите удельную теплоёмкость образца, если его масса 50 г. Дано: Масса образца: \(m = 50\) г Найти: Удельная теплоёмкость: \(c\) СИ: Масса образца: \(m = 50\) г \(=\ 0,05\) кг Решение: По графику выберем любую точку, например, где \(\Delta t = 100\) °C. При \(\Delta t = 100\) °C, количество теплоты \(Q = 2000\) Дж. Формула для количества теплоты: \(Q = c \cdot m \cdot \Delta t\) Выразим из этой формулы удельную теплоёмкость: \(c = \frac{Q}{m \cdot \Delta t}\) \(c = \frac{2000 \text{ Дж}}{0,05 \text{ кг} \cdot 100 \text{ °C}}\) \(c = \frac{2000}{5}\) Дж/(кг·°C) \(c = 400\) Дж/(кг·°C) Ответ: Удельная теплоёмкость образца равна 400 Дж/(кг·°C). 7) Какое количество теплоты получили алюминиевая кастрюля массой 200 г и находящаяся в ней вода объемом 1,5 л при нагревании от 20 °C до кипения при температуре 100 °C? Дано: Масса кастрюли: \(m_к = 200\) г Объем воды: \(V_в = 1,5\) л Начальная температура: \(t_1 = 20\) °C Конечная температура: \(t_2 = 100\) °C Удельная теплоёмкость алюминия: \(c_к = 920\) Дж/(кг·°C) Удельная теплоёмкость воды: \(c_в = 4200\) Дж/(кг·°C) Плотность воды: \(\rho_в = 1000\) кг/м\(^3\) Найти: Общее количество теплоты: \(Q\) СИ: Масса кастрюли: \(m_к = 200\) г \(=\ 0,2\) кг Объем воды: \(V_в = 1,5\) л \(=\ 0,0015\) м\(^3\) Решение: Сначала найдем массу воды: \(m_в = \rho_в \cdot V_в\) \(m_в = 1000\) кг/м\(^3\) \(\cdot 0,0015\) м\(^3\) \(=\ 1,5\) кг Изменение температуры: \(\Delta t = t_2 - t_1 = 100\) °C \(-\ 20\) °C \(=\ 80\) °C Количество теплоты, полученное кастрюлей: \(Q_к = c_к \cdot m_к \cdot \Delta t\) \(Q_к = 920\) Дж/(кг·°C) \(\cdot 0,2\) кг \(\cdot 80\) °C \(Q_к = 14720\) Дж Количество теплоты, полученное водой: \(Q_в = c_в \cdot m_в \cdot \Delta t\) \(Q_в = 4200\) Дж/(кг·°C) \(\cdot 1,5\) кг \(\cdot 80\) °C \(Q_в = 504000\) Дж Общее количество теплоты: \(Q = Q_к + Q_в\) \(Q = 14720\) Дж \(+\ 504000\) Дж \(Q = 518720\) Дж Ответ: Алюминиевая кастрюля и вода получили 518720 Дж теплоты. 8) Воздух, заполняющий объем 0,5 л в цилиндре с легким поршнем, нагрели от 0 до 30 °C при постоянном атмосферном давлении. Какое количество теплоты получил воздух? Дано: Объем воздуха: \(V = 0,5\) л Начальная температура: \(t_1 = 0\) °C Конечная температура: \(t_2 = 30\) °C Давление: постоянное атмосферное (изобарный процесс) Найти: Количество теплоты: \(Q\) СИ: Объем воздуха: \(V = 0,5\) л \(=\ 0,0005\) м\(^3\) Начальная температура: \(T_1 = 0\) °C \(=\ 273,15\) К Конечная температура: \(T_2 = 30\) °C \(=\ 303,15\) К Решение: Для идеального газа при изобарном процессе количество теплоты, полученное газом, идет на изменение его внутренней энергии и на совершение работы против внешнего давления. \(Q = \Delta U + A\), где \(\Delta U\) - изменение внутренней энергии, \(A\) - работа газа. Для одноатомного газа \(\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T\), для двухатомного (воздух) \(\Delta U = \frac{5}{2} \nu R \Delta T\). Работа газа при изобарном процессе \(A = p \Delta V\). По первому закону термодинамики для изобарного процесса: \(Q = C_p \cdot \nu \cdot \Delta T\), где \(C_p\) - молярная теплоёмкость при постоянном давлении. Для воздуха (двухатомный газ) \(C_p = \frac{7}{2} R\). Тогда \(Q = \frac{7}{2} \nu R \Delta T\). Нам нужно найти количество вещества \(\nu\). Используем уравнение Менделеева-Клапейрона: \(p V = \nu R T\) \(\nu = \frac{p V_1}{R T_1}\) Примем атмосферное давление \(p = 101325\) Па. Универсальная газовая постоянная \(R = 8,314\) Дж/(моль·К). \(\nu = \frac{101325 \text{ Па} \cdot 0,0005 \text{ м}^3}{8,314 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 273,15 \text{ К}}\) \(\nu \approx \frac{50,6625}{2271,1}\) моль \(\nu \approx 0,0223\) моль Изменение температуры в Кельвинах: \(\Delta T = T_2 - T_1 = 303,15\) К \(-\ 273,15\) К \(=\ 30\) К Теперь найдем количество теплоты: \(Q = \frac{7}{2} \cdot \nu \cdot R \cdot \Delta T\) \(Q = \frac{7}{2} \cdot 0,0223 \text{ моль} \cdot 8,314 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 30 \text{ К}\) \(Q = 3,5 \cdot 0,0223 \cdot 8,314 \cdot 30\) Дж \(Q \approx 19,49\) Дж Примечание: Если бы использовалась удельная теплоёмкость воздуха при постоянном давлении \(c_p \approx 1000\) Дж/(кг·°C) и плотность воздуха при нормальных условиях \(\rho \approx 1,29\) кг/м\(^3\), то: Масса воздуха \(m = \rho \cdot V = 1,29\) кг/м\(^3\) \(\cdot 0,0005\) м\(^3\) \(=\ 0,000645\) кг. \(Q = c_p \cdot m \cdot \Delta t = 1000\) Дж/(кг·°C) \(\cdot 0,000645\) кг \(\cdot 30\) °C \(=\ 19,35\) Дж. Результаты близки. Ответ: Воздух получил примерно 19,5 Дж теплоты. 9) Определите какое количество теплоты выделится при кристаллизации 2 кг воды. Дано: Масса воды: \(m = 2\) кг Процесс: кристаллизация (замерзание) Удельная теплота плавления (кристаллизации) льда: \(\lambda = 3,34 \cdot 10^5\) Дж/кг Найти: Количество теплоты: \(Q\) СИ: Все величины даны в единицах СИ. Решение: При кристаллизации вещества выделяется количество теплоты, равное количеству теплоты, которое поглощается при его плавлении. Формула для количества теплоты при кристаллизации: \(Q = \lambda \cdot m\) \(Q = 3,34 \cdot 10^5\) Дж/кг \(\cdot 2\) кг \(Q = 6,68 \cdot 10^5\) Дж \(Q = 668000\) Дж Ответ: При кристаллизации 2 кг воды выделится 668000 Дж теплоты.