Решение: Реши задачу: Решить два примера

Хорошо, давайте решим эти два примера. Первый пример: \[ \frac{3 \cdot 10^m \cdot 10^{m+1}}{2 \cdot 15^{m-1}} \] Для начала, давайте упростим числитель. Мы знаем, что при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \[ 10^m \cdot 10^{m+1} = 10^{m + (m+1)} = 10^{2m+1} \] Теперь числитель выглядит так: \[ 3 \cdot 10^{2m+1} \] Теперь посмотрим на знаменатель. Число 15 можно разложить на простые множители: \(15 = 3 \cdot 5\). Значит, \(15^{m-1} = (3 \cdot 5)^{m-1} = 3^{m-1} \cdot 5^{m-1}\). Теперь знаменатель выглядит так: \[ 2 \cdot 3^{m-1} \cdot 5^{m-1} \] Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь: \[ \frac{3 \cdot 10^{2m+1}}{2 \cdot 3^{m-1} \cdot 5^{m-1}} \] Далее, число 10 в числителе можно разложить на \(2 \cdot 5\): \[ 10^{2m+1} = (2 \cdot 5)^{2m+1} = 2^{2m+1} \cdot 5^{2m+1} \] Теперь дробь выглядит так: \[ \frac{3 \cdot 2^{2m+1} \cdot 5^{2m+1}}{2 \cdot 3^{m-1} \cdot 5^{m-1}} \] Теперь мы можем сократить одинаковые основания, вычитая показатели степеней: Для основания 3: \(3^1 / 3^{m-1} = 3^{1 - (m-1)} = 3^{1 - m + 1} = 3^{2-m}\) Для основания 2: \(2^{2m+1} / 2^1 = 2^{2m+1 - 1} = 2^{2m}\) Для основания 5: \(5^{2m+1} / 5^{m-1} = 5^{2m+1 - (m-1)} = 5^{2m+1 - m + 1} = 5^{m+2}\) Итак, окончательный результат первого примера: \[ 3^{2-m} \cdot 2^{2m} \cdot 5^{m+2} \] Второй пример: \[ 5^{-18} \cdot 0.6^{-4} \cdot 6^{20} \] Давайте переведем десятичную дробь 0.6 в обыкновенную: \[ 0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \] Теперь подставим это в выражение: \[ 5^{-18} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-4} \cdot 6^{20} \] Мы знаем, что \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n\). Значит: \[ \left(\frac{3}{5}\right)^{-4} = \left(\frac{5}{3}\right)^4 = \frac{5^4}{3^4} \] Теперь выражение выглядит так: \[ 5^{-18} \cdot \frac{5^4}{3^4} \cdot 6^{20} \] Число 6 можно разложить на простые множители: \(6 = 2 \cdot 3\). Значит, \(6^{20} = (2 \cdot 3)^{20} = 2^{20} \cdot 3^{20}\). Теперь подставим это обратно в выражение: \[ 5^{-18} \cdot \frac{5^4}{3^4} \cdot 2^{20} \cdot 3^{20} \] Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: Для основания 5: \(5^{-18} \cdot 5^4 = 5^{-18+4} = 5^{-14}\) Для основания 3: \(\frac{3^{20}}{3^4} = 3^{20-4} = 3^{16}\) Для основания 2: \(2^{20}\) Итак, окончательный результат второго примера: \[ 5^{-14} \cdot 3^{16} \cdot 2^{20} \]