Решение задачи 359: Емкость плоского конденсатора

Задача №359 Дано: \(S = 12,5 \text{ см}^2 = 12,5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\) \(d_1 = 5,0 \text{ мм} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}\) \(d_2 = 10 \text{ мм} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ м}\) \(\varepsilon = 1\) (воздушный конденсатор) \(\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}\) \(Q = \text{const}\) (источник отключен) _________________ Найти: \(\Delta C\), \(\Delta w\) Решение: 1. Емкость плоского конденсатора определяется формулой: \[C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}\] 2. Найдем начальную и конечную емкости: \[C_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_1}\] \[C_2 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_2}\] 3. Изменение емкости: \[\Delta C = C_2 - C_1 = \varepsilon \varepsilon_0 S \left( \frac{1}{d_2} - \frac{1}{d_1} \right)\] Подставим значения: \[\Delta C = 1 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 12,5 \cdot 10^{-4} \cdot \left( \frac{1}{10 \cdot 10^{-3}} - \frac{1}{5 \cdot 10^{-3}} \right)\] \[\Delta C = 110,625 \cdot 10^{-16} \cdot (100 - 200) = -110,625 \cdot 10^{-14} \text{ Ф} \approx -1,1 \text{ пФ}\] 4. Объемная плотность энергии электрического поля: \[w = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 E^2}{2}\] Так как источник отключен, заряд \(Q\) на пластинах остается неизменным. Напряженность поля \(E\) в плоском конденсаторе: \[E = \frac{\sigma}{\varepsilon \varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon \varepsilon_0 S}\] Как видно из формулы, напряженность \(E\) не зависит от расстояния \(d\) между пластинами (в идеальном случае). 5. Следовательно, плотность энергии в обоих случаях будет одинаковой: \[w_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 E^2}{2}, \quad w_2 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 E^2}{2}\] \[\Delta w = w_2 - w_1 = 0\] Ответ: \(\Delta C \approx -1,1 \text{ пФ}\); \(\Delta w = 0\). Схематичный рисунок для тетради: Нарисуйте две параллельные горизонтальные линии (пластины). Случай 1: Расстояние между ними \(d_1\). Случай 2: Те же линии, но расстояние между ними \(d_2\) (в два раза больше). Так как источник отключен, нарисуйте на верхней пластине знаки "+", а на нижней "-", их количество должно быть одинаковым на обоих рисунках, что символизирует \(Q = \text{const}\). Линии напряженности \(E\) (стрелки от "+" к "-") рисуются с одинаковой густотой.