Решение задачи №409: Магнитная индукция в центре полукольца

Задача №409 Дано: \(I = 40 \text{ А}\) \(R = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}\) \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м}\) _________________ Найти: \(B_O\) Решение: 1. Согласно принципу суперпозиции, общая магнитная индукция в точке \(O\) равна векторной сумме индукций, создаваемых каждым участком проводника: \[\vec{B}_O = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 + \vec{B}_3\] где: \(\vec{B}_1\) — поле от нижнего прямолинейного участка; \(\vec{B}_2\) — поле от дуги окружности (полукольца); \(\vec{B}_3\) — поле от верхнего прямолинейного участка. 2. Магнитная индукция, создаваемая элементом тока, определяется законом Био-Савара-Лапласа: \[d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I [d\vec{l} \times \vec{r}]}{r^3}\] Для прямолинейных участков 1 и 3 точка \(O\) лежит на линии, являющейся продолжением этих проводников. Это значит, что угол между вектором элемента тока \(d\vec{l}\) и радиус-вектором \(\vec{r}\) равен \(0^\circ\) или \(180^\circ\). Следовательно, синус угла равен нулю, и эти участки не создают магнитного поля в точке \(O\): \[B_1 = 0, \quad B_3 = 0\] 3. Индукция в центре кругового тока равна \(B = \frac{\mu_0 I}{2R}\). Так как наш проводник представляет собой половину окружности (дуга \(180^\circ\)), то индукция в точке \(O\) будет равна половине индукции полного витка: \[B_O = B_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\mu_0 I}{2R} = \frac{\mu_0 I}{4R}\] 4. Направление вектора \(\vec{B}_O\) определяется по правилу правой руки (или правилу буравчика). Для данного рисунка ток в полукольце идет по часовой стрелке, значит, вектор индукции направлен «от нас» (перпендикулярно плоскости рисунка вглубь). 5. Вычислим значение: \[B_O = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 40}{4 \cdot 0,2} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 40}{0,8} = \pi \cdot 10^{-7} \cdot 200 = 2\pi \cdot 10^{-5} \text{ Тл}\] \[B_O \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 10^{-5} = 6,28 \cdot 10^{-5} \text{ Тл} = 62,8 \text{ мкТл}\] Ответ: \(B_O = 62,8 \text{ мкТл}\). Рисунок для тетради: Перерисуйте схему из условия. 1. Обозначьте нижний горизонтальный луч цифрой 1, полуокружность — 2, верхний вертикальный луч — 3. 2. В точке \(O\) поставьте значок \(\otimes\) (крестик в кружочке) и подпишите \(\vec{B}_O\). Это показывает, что поле направлено вглубь страницы. 3. Проведите пунктирные линии от прямых участков к точке \(O\), чтобы показать, что точка лежит на их осях.