Решение задачи №409: Магнитная индукция в центре полуокружности

Задача №409 Дано: \(I = 40 \text{ А}\) \(R = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}\) \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м}\) _________________ Найти: \(B_O\) Решение: 1. Согласно принципу суперпозиции, магнитная индукция в точке \(O\) создается тремя участками проводника: двумя прямолинейными и одним криволинейным (полуокружностью). \[\vec{B}_O = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 + \vec{B}_3\] 2. Рассмотрим прямолинейные участки 1 и 3. Точка \(O\) лежит на прямой, проходящей через эти проводники. Согласно закону Био-Савара-Лапласа, магнитная индукция в точках, лежащих на оси проводника с током, равна нулю, так как угол между элементом тока и радиус-вектором равен \(0^\circ\) или \(180^\circ\) (\(\sin \alpha = 0\)). \[B_1 = 0, \quad B_3 = 0\] 3. Участок 2 представляет собой полуокружность. Индукция в центре кругового витка равна \(B = \frac{\mu_0 I}{2R}\). Для половины витка формула примет вид: \[B_O = B_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\mu_0 I}{2R} = \frac{\mu_0 I}{4R}\] 4. Направление вектора \(\vec{B}_O\) определим по правилу правой руки: если обхватить ладонью полуокружность так, чтобы четыре пальца были направлены по току, то большой палец укажет направление индукции. В точке \(O\) поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка «от нас» (обозначается символом \(\otimes\)). 5. Подставим числовые значения: \[B_O = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 40}{4 \cdot 0,2} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 40}{0,8} = 200\pi \cdot 10^{-7} \text{ Тл}\] \[B_O = 2\pi \cdot 10^{-5} \text{ Тл} \approx 6,28 \cdot 10^{-5} \text{ Тл} = 62,8 \text{ мкТл}\] Ответ: \(B_O \approx 62,8 \text{ мкТл}\). Схема для тетради: Нарисуйте проводник, разделив его на участки: 1. Нижний горизонтальный луч — подпишите цифрой 1. 2. Полуокружность — подпишите цифрой 2. 3. Верхний вертикальный луч — подпишите цифрой 3. В точке \(O\) нарисуйте символ \(\otimes\) и подпишите \(\vec{B}_O\). Пунктирными линиями продлите прямые участки 1 и 3 до точки \(O\), чтобы показать, что они направлены точно на неё. Это визуально пояснит, почему \(B_1 = B_3 = 0\).