Решение уравнения x³ - 2x² - x + 2 = 0 и неравенства (x-6)² < √10(x-6)

Ниже представлены решения задач с изображения в удобном для переписывания виде. Задание 20. Решите уравнение: \[ x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0 \] Решение: Сгруппируем слагаемые: \[ (x^3 - 2x^2) - (x - 2) = 0 \] Вынесем общий множитель за скобки: \[ x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0 \] \[ (x - 2)(x^2 - 1) = 0 \] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \( x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2 \) 2) \( x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_2 = 1, x_3 = -1 \) Ответ: -1; 1; 2. Решите неравенство: \[ (x - 6)^2 < \sqrt{10}(x - 6) \] Решение: Перенесем всё в левую часть: \[ (x - 6)^2 - \sqrt{10}(x - 6) < 0 \] Вынесем \( (x - 6) \) за скобки: \[ (x - 6)(x - 6 - \sqrt{10}) < 0 \] Корни левой части: \( x = 6 \) и \( x = 6 + \sqrt{10} \). Методом интервалов определяем, что выражение отрицательно между корнями. Ответ: \( (6; 6 + \sqrt{10}) \). Решите неравенство: \[ \frac{-15}{(x+1)^2 - 3} \geq 0 \] Решение: Так как числитель (-15) всегда отрицателен, то для того, чтобы дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть строго меньше нуля (равенство нулю невозможно, так как на ноль делить нельзя): \[ (x+1)^2 - 3 < 0 \] \[ (x+1)^2 < 3 \] \[ -\sqrt{3} < x + 1 < \sqrt{3} \] \[ -1 - \sqrt{3} < x < -1 + \sqrt{3} \] Ответ: \( (-1 - \sqrt{3}; -1 + \sqrt{3}) \). Задание 19. Укажите неравенство, которое не имеет решений. 1) \( x^2 + 33 < 0 \). Так как \( x^2 \geq 0 \), то \( x^2 + 33 \) всегда больше или равно 33. Оно никогда не будет меньше 0. Ответ: 1. Задание 19 (пункт 5). 3) \( x^2 - 3x + 11 < 0 \). Найдем дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 9 - 44 = -35 \). Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен, парабола всегда выше оси \( x \). Решений нет. Ответ: 3. Задание 19 (пункт 6). 3) \( x^2 - 8x + 83 < 0 \). Дискриминант: \( D = 64 - 4 \cdot 83 = 64 - 332 = -268 \). Парабола всегда выше оси \( x \). Решений нет. Ответ: 3. Задание 17. Укажите неравенство, решением которого является любое число. 3 (пункт 2): \( x^2 + 9x + 79 > 0 \). \( D = 81 - 4 \cdot 79 = 81 - 316 = -235 \). Парабола всегда выше оси \( x \). Ответ: 2. 4 (пункт 1): \( x^2 + 15 > 0 \). Сумма положительного числа и квадрата всегда больше нуля. Ответ: 1. 5 (пункт 2): \( x^2 + 70 > 0 \). Аналогично, верно при любом \( x \). Ответ: 2. Задание 15. Укажите неравенство по рисунку. 5) На рисунке заштрихованы края (отрицательные и положительные значения), корни 0 и 4. Это соответствует \( x(x-4) \geq 0 \), то есть \( x^2 - 4x \geq 0 \). Ответ: 3. 6) На рисунке заштрихован интервал между 0 и 7. Это \( x(x-7) < 0 \), то есть \( x^2 - 7x < 0 \). Ответ: 1. 8) На рисунке заштрихован интервал между -2 и 2. Это \( (x-2)(x+2) < 0 \), то есть \( x^2 - 4 < 0 \). Ответ: 1.