Решение задач с оформлением Дано и Решением

Ниже представлены решения задач в виде, удобном для оформления в школьной тетради. Задача 1 Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle BAC = 72^\circ \), \( AD \) — биссектриса. Найти: \( \angle BAD \). Решение: Биссектриса делит угол пополам. Следовательно: \[ \angle BAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ \] Ответ: 36. Задача 2 Дано: Равнобедренная трапеция, \( h = 5 \), \( a = 14 \) (большее основание), \( \alpha = 45^\circ \). Найти: \( b \) (меньшее основание). Решение: 1) Проведем две высоты из вершин верхнего основания. Они отсекают от большего основания два равных прямоугольных треугольника. 2) В таком треугольнике один угол \( 90^\circ \), другой \( 45^\circ \), значит, третий угол тоже \( 45^\circ \). Треугольник равнобедренный, и его катет на основании равен высоте: \( x = h = 5 \). 3) Меньшее основание \( b = a - 2x = 14 - 2 \cdot 5 = 14 - 10 = 4 \). Ответ: 4. Задача 3 Дано: \( ABCD \) — параллелограмм, \( AK \) — биссектриса \( \angle A \), \( \angle AKB = 36^\circ \) (угол между биссектрисой и стороной \( BC \)). Найти: \( \angle ABC \). Решение: 1) \( BC \parallel AD \) (свойства параллелограмма), \( AK \) — секущая. Значит, \( \angle KAD = \angle AKB = 36^\circ \) как накрест лежащие. 2) Так как \( AK \) — биссектриса, то \( \angle BAK = \angle KAD = 36^\circ \). 3) Весь угол \( \angle A = 36^\circ + 36^\circ = 72^\circ \). 4) Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна \( 180^\circ \). \[ \angle ABC = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ \] Ответ: 108. Задача 4А Дано: \( \triangle ABC \), \( BM \) — медиана, \( AC = 14 \). Найти: \( AM \). Решение: Медиана делит сторону, к которой она проведена, пополам. \[ AM = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] Ответ: 7. Задача 4Б Дано: \( \triangle ABC \), \( BM = 10 \), \( BH = 8 \), \( AC = 14 \). Найти: расстояние от \( A \) до прямой \( BM \). Решение: 1) Расстояние от точки до прямой — это высота \( h_a \) в \( \triangle ABM \), опущенная на сторону \( BM \). 2) Площадь \( \triangle ABM \) равна половине площади \( \triangle ABC \) (так как медиана делит треугольник на два равновеликих): \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 8 = 56 \] \[ S_{ABM} = \frac{56}{2} = 28 \] 3) С другой стороны, \( S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_a \): \[ 28 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h_a \Rightarrow 28 = 5 \cdot h_a \Rightarrow h_a = \frac{28}{5} = 5,6 \] Ответ: 5,6. Задача 5 Дано: Четырехугольник на клетчатой бумаге \( 1 \times 1 \). Найти: \( S \). Решение: Удобнее всего воспользоваться формулой площади ромба (так как диагонали перпендикулярны): \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \). 1) Считаем по клеткам: горизонтальная диагональ \( d_1 = 6 \), вертикальная диагональ \( d_2 = 4 \). \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \] Ответ: 12.